Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла тригонометрическая подстановка

Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.

Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида

задаёт окружность с центром в точке

радиуса

. В частности, уравнение

задаёт окружность радиуса

с центром в начале координат.

Пример 4

Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением

– это окружность с центром в начале координат радиуса

Выполним чертёж:

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга

, то его площадь равна:

Для того чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения окружности

выразить функцию «игрек» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением

Нижняя полуокружность задается уравнением

Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-й четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.

Таким образом:

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:

Проведём замену:

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, я распишу очень подробно:

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие

, то, увы, схлопочете от преподавателя «приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена

, особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования:
Если

, то

Новый нижний предел интегрирования:

Новый верхний предел интегрирования:

Таким образом:

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула

? А фишка состоит в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа (хотя уже в древности площадь круга рассчитывали с приличной точностью).

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса:

. В результате получится как раз формула

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла

, а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение элементарно сводится к оптимальной версии:

Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить определенный интеграл

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене

. Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Будьте внимательны! Полное решение и ответ в конце урока.