Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула

, и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:

Вторая по популярности буква для замены – это буква

.
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Но при замене у нас остаётся

! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной

, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву

, и дифференциалу

там совсем не место.
Следует логичный вывод, что

нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от

.

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере,

, нам нужно найти дифференциал

. С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как

, то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:

Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам

:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

В итоге:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Таким образом:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл

(таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной

).

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что

.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

Проведем замену:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Значок

не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

Также всем рекомендую использовать математический знак

вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку

обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала

расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод знак дифференциала – гораздо короче.

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Замена переменной. Неопределенный интеграл-53

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector