Цилиндрические координаты точки в пространствеXOYZ— это ее полярные координаты
в плоскости XOY и координата z.
Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:
Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства:
или
|
|
Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:
объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область
и записывается системой неравенств:
;
далее область
записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:
,
;
в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным
и
:
Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:
|
(2) |
Таким образом, бесконечно
Пример 2 (вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах)
Вычислить
, если область V ограничена поверхностями
.
Решение
Строим область V и записываем её системой неравенств в цилиндрических
координатах:
Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его:
|
|
.
Тройной интеграл в сферических координатах. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
