Весьма увлекательный случай. Несобственный интеграл первого рода с нескончаемыми пределами интегрирования имеет следующий вид:
Как решить интеграл с нескончаемыми пределами? Этот интеграл необходимо представить в виде суммы двух несобственных интегралов:
Примечание: вместо ноля возможно любое число, но ноль в большинстве случаев эргономичнее всего.
В случае если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и интеграл
.
В случае если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и интеграл
Пример 9
Вычислить несобственный интеграл либо установить его расходимость.
Я намерено подобрал примитивный пример, дабы проиллюстрировать второй принципиальный момент применения способа.
Подынтегральная функция постоянна на всей числовой прямой.
В соответствии с правилу, интеграл направляться представить в виде суммы интегралов:
Интеграл будет сходиться, в случае если будут сходиться оба интеграла правой части.
Контролируем:
– сходится.
– сходится.
Оба интеграла сходятся, значит, сходится и целый интеграл:
Сейчас обратим внимание на подынтегральную функцию. Она есть чётной.
В несобственных интегралах с нескончаемыми пределами (соответственно, симметричным промежутком интегрирования) чётностью пользоваться Возможно. Подобно определенному интегралу, промежуток интегрирования возможно споловинить, а итог – удвоить.
Другими словами, ответ возможно записать меньше:
Из-за чего такое вероятно? График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси
. Следовательно, в случае если добрая половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная добрая половина площади также конечна. В случае если добрая половина площади нескончаема (интеграл расходится), следовательно, симметричная добрая половина также будет расходиться.
Пример 10
Вычислить несобственный интеграл либо установить его расходимость.
Подынтегральная функция постоянна на всей числовой прямой. В соответствии с правилу, интеграл необходимо представить в виде суммы двух интегралов:
Контролируем сходимость интегралов правой части:
Первый интеграл расходится. Символ «минус» показывает, что нескончаемая криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс.
Сходимость 2-го интеграла правой части контролировать уже не требуется.
Ответ: несобственный интеграл
расходится
А на данный момент принципиальный момент: подынтегральная функция
есть нечётной. В несобственных интегралах с нескончаемыми пределами (соответственно, симметричным промежутком интегрирования) нечётностью пользоваться Не нужно!!!
В этом состоит отличие от определенного интеграла. В том месте возможно смело записать, что
, а тут так поступать не нужно. Из-за чего? По причине того, что во многих случаях, как, к примеру, в рассмотренном примере, окажется нонсенс. Запись
констатирует тот факт, что интеграл сходится (т.к. равен конечному числу), но одновременно с этим его часть
– расходится (как мы только что продемонстрировали в ответе).
Тонкость же пребывает в том, что интегралы
от некоторых нечётных функций
и в конечном итоге равны нулю, но нельзя Сходу записывать, что
. Неизменно воображаем интеграл в виде двух интегралов и делаем диагностику на сходимость по стандартному методу.
Именно данной тонкости посвящен следующий пример для независимого ответа:
Видеоурок
