Iii. решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Пример 6. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский. Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

Вадим изучает китайский;
Сергей не изучает китайский;
Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Пример 7. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов. Антон сказал: Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин. Борис сказал: Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин. Вадим сказал: Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов. Гриша сказал: Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов.

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму юноша по имени А носит фамилию Б как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

ДМ и БХ;
АМ и ВБ;
ВТ и БМ;
ВБ и ГЧ;
ГЧ и АТ.

Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений:

БХ истинно

БМ ложно

ВТ истинно

АТ ложно

ГЧ истинно

ВБ ложно

АМ истинно.

Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.

Пример 8.Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: Чей именно проект был принят?, министры дали такие ответы:

Россия — Проект не наш, проект не США;
США — Проект не России, проект Китая;
Китай — Проект не наш, проект России.

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия — Проект не наш (1), Проект не США (2);
США — Проект не России (3), Проект Китая (4);
Китай — Проект не наш (5), Проект России (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.

Упражнения

5.1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

а) Солнце есть спутник Земли;
б) 2+3?4;
в) сегодня отличная погода;
г) в романе Л.Н. Толстого Война и мир 3 432 536 слов;
д) Санкт-Петербург расположен на Неве;
е) музыка Баха слишком сложна;
ж) первая космическая скорость равна 7.8 км/сек;
з) железо — металл;
и) если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным;
к) если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный.

[ Ответ ]

5.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.
[ Ответ ]

5.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

а) из арифметики; б) из физики;
в) из биологии; г) из информатики;
д) из геометрии; е) из жизни.

[ Ответ ]

5.4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

а) Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы;
б) 2=5;
в) 10
г) все натуральные числа целые;
д) через любые три точки на плоскости можно провести окружность;
е) теннисист Кафельников не проиграл финальную игру;
ж) мишень поражена первым выстрелом;
з) это утро ясное и теплое;
и) число n делится на 2 или на 3;
к) этот треугольник равнобедренный и прямоугольный;
л) на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой.

[ Ответ ]

5.5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

а) 510;
б) 109, 10
в) мишень поражена первым выстрелом, мишень поражена вторым выстрелом;
г) машина останавливалась у каждого из двух светофоров, машина не останавливалась у каждого из двух светофоров,
д) человечеству известны все планеты Солнечной системы, в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству;
е) существуют белые слоны, все слоны серые;
ж) кит — млекопитающее, кит — рыба;
з) неверно, что точка А не лежит на прямой а, точка А лежит на прямой а;
и) прямая а параллельна прямой b, прямая a перпендикулярна прямой b;
к) этот треугольник равнобедренный и прямоугольный, этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный.

[ Ответ ]

5.6. Определите значения истинности высказываний:

а) наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт;
б) наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт;
в) если целое число делится на 6, то оно делится на 3;
г) подобие треугольников является необходимым условием их равенства;
д) подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства;
е) треугольники подобны только в случае их равенства;
ж) треугольники равны только в случае их подобия;
з) равенство треугольников является достаточным условием их подобия;
и) для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны;
к) для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны.

[ Ответ ]

5.7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

а) если (а или (b и с)), то d;
б) если (не а и не b), то (с или d);
в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

5.8. Формализуйте следующий вывод: Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны.
[ Ответ ]

5.9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги.

Формализуйте также ответ сына: Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди.
[ Ответ ]

5.10. Пусть a = это утро ясное, а b = это утро теплое. Выразите следующие формулы на обычном языке:

[ Ответ ]

5.11. Из двух данных высказываний a и b постройте составное высказывание, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны;
б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

[ Ответ ]

5.12. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

Ответ:

5.13. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными: