Лекция 7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
- Основные понятия Функция распределения и плотность распределения случайной величины Числовые характеристики случайной величины
- Основные понятия
Наряду со случайными событиями одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины — величины,численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Примерами случайных величин могут быть: отметка на экзамене — целое, положительное число (от 2 до 5); число оборотов спутника вокруг Земли до его гибели — любое натуральное число (в принципе ничем не ограниченное); продолжительность работы телевизора до выхода из строя — любое неотрицательное число и так далее.
Обозначать случайные величины будем греческими буквами — x, h, z и другими, а их возможные значения — x, y, z, снабжая их при необходимости индексами.
Таким образом, случайная величина x — число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу стохастического эксперимента. Поскольку исходы опыта полностью определяются элементарными событиями, можно рассматривать случайную величину как функцию от элементарного события w на пространстве элементарных событий W.
В зависимости от возможных значений все случайные величины можно разбить на два класса: дискретные и непрерывные.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют или конечное множество, или счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать).
Примером случайной величины, принимающей конечное число значений, является число очков, выпавших при бросании кубика; примером случайной величины, принимающей счетное число значений может служить пуассоновcкая величина.
Для задания случайной величины недостаточно знать все её возможные значения, две случайные величины могут иметь одинаковые возможные значения, но принимать их с различными вероятностями (случайные величины — оценки на экзамене у сильных и слабых студентов имеют одинаковые возможные значения, но разные вероятности). Поэтому необходимо указать и возможные значения случайной величины, и вероятности, с которыми она может их принять.
Назовём законом распределения дискретной случайной величиныправило, по которому каждому возможному значению xiставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан графически, аналитически и таблично. В последнем случае задаётся таблица, где в одной строке записаны все возможные значения xi, а в другой соответствующие им вероятности pi. Её называют таблицей или рядом распределения вероятности.
Поскольку в результате опыта случайная величина может принять одно и только одно из возможных значений, то события, заключающиеся в том, что x примет значение x1, … , xnпопарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. Отсюда следует, что вероятность суммы этих событий равна 1 и мы приходим к важному соотношению.
. (2.1)
Замечание. Если множество возможных значений бесконечно и счётно, то сумма будет содержать бесконечное число слагаемых. Такую сумму называют суммой числового ряда. В этом случае находят сумму первых n членов — Snи затем переходят к пределу при n ® ¥. Таким способом в школьном курсе алгебры была найдена сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины x, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике — 0,6.
Решение. Очевидно, возможные значения x есть 0, 1, 2, причём
;
;
.
Здесь A1и A2- события, заключающиеся в том, что математика и соответственно физика сданы на 5. При вычислении вероятностей использовалась несовместность слагаемых и независимость сомножителей. Сведём полученное в таблицу и нарисуем график, который называется многоугольником распределения (рис. 2.1):
– ряд распределения вероятностей.
Случайная величина и закон ее распределения
