Законы распределения:
1.Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Из известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, описываемое законом Гаусса. Это объясняется как его относительной простотой, так и тем, что многие случайные величины, формирование значений которых определяется большим количеством неконтролируемых факторов, каждый из которых вносит относительно небольшой вклад, имеют распределение, близкое к нормальному.
Определение. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид
, (9)
где —математическое ожидание;
— дисперсия; — среднее квадратическое отклонение этой величины.
График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рис. 1.
Этот график симметричен относительно вертикальной прямой
причем в точке
функция имеет максимум, равный
.
Поскольку при
функция f(х) стремится к 0, то ось абсцисс является асимптотой графика этой функции.
Рисунок 1. График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса)
2. Логарифмически нормальное распределение
это распределение случайной величины, логарифм которой распределён по нормальному закону. Применяют, когда значение случайной величины составляет случайную долю ранее наблюдавшегося явления.
В теории надёжности логарифмически нормальное распределение используют для описания: процессов восстановления; износовых отказов, когда приращение износа пропорционально мгновенному значению износа; наработки при быстром “выгорании” ненадёжных элементов; отказов, появляющихся в результате усталости материала, например, подшипников качения, электронных ламп и пр.
3. Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает важное место в теории надежности. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ? х ? ?). Если параметр ? формы кривой распределения принимает целое значение, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью ?.
Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.
Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами
при x ?0; (38)
f(x) = 0 при x
где ? 0, ? 0;
(39)
Кривая изменения плотности распределения приведена на рис. 5.
Функция распределения
при x?0; (40)
F(x) = 0 при х 0.
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
(41)
При ? 1 — возрастает (что характерно для периода изнашивания и старения элементов).
Рис. 5. Кривые плотности гамма-распределения
При ? =1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при ?10 гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если ? принимает значения
произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга. Если ?=1/2, а значение ? кратно 1/2, то гамма-распределение совпадает с распределением ?2 (хи-квадрат).
4. Распределения Вейбулла
Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью
где ? – параметр формы кривой распределения; ? – параметр масштаба кривой распределения.
График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Функция плотности распределения Вейбулла для ? = 1
Подбирая нужным образом параметры а и ?, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр ?).
Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром ? 1.
Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром ? 1. При ? = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.
5.Равномерное распределение.
Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:
(29)
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:
(30)
Рис. 4. График плотности равномерного распределения
Нормальный закон распределения. Функция Лапласа
