ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Базовые понятия
Линейная модельописывает процессы влинейной физической системе.
Линейная система вида, представленного на рис. 4.1, может быть описана линейным дифференциальным уравнением
(4.1)
где у(t) – искомая функция – выходной процесс;
x(t) – заданная функция – входной процесс;
Линейнымназывается дифференциальное уравнение, коэффициенты которого не зависят от искомой функции у и в которое функция у и ее производные входят линейно (в первой степени).
Основным свойством линейных систем является применимость принципа суперпозиции (наложения): сумме воздействий на систему соответствует сумма ее реакций на эти воздействия.
В качестве примера линейной системы рассмотрим электрическую цепь с несколькими источниками. Токи от каждого источника независимы, поэтому проводится расчет токов отдельно для каждого источника. Результирующие токи получаются суммированием частных токов.
Принцип суперпозиции существенно облегчает исследование линейных систем, так как позволяет ограничиться исследованием объекта только по одному входу.
Линейная стационарная модель формируется на основе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (а0, а1, а2, … , b0, b1, b2, …– const). Такая модель описывает линейную систему, параметры которой не зависятот времени.
ПРИМЕР 4.1. Моделируемый объект (оригинал) – электрическая цепь (рис. 4.2):
R, L, C – const.
По второму закону Кирхгофа
. (4.2)
Выразим ток
(4.3)
и сделаем подстановку в уравнение (4.2):
(4.4)
это линейная стационарная модель – дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно uC (yuC; xe).
Для системы (рис. 4.2) можно составить еще одну модель. Продифференцируем уравнение (4.2):
(4.5)
и умножим обе части уравнения (4.5) на С:
(4.6)
это линейная стационарная модель относительно i (yi; xe).
ПРИМЕР 4.2.Линейной стационарной моделью в классе дифференциальных уравнений может быть описан электрический генератор постоянного тока (рис. 4.3):
(4.7)
где x(t) – входная переменная uВ – напряжение возбуждения;
у(t) – выходная переменная eг – ЭДС, наводимая в обмотке якоря генератора;
ТГ – постоянная времени генератора;
kГ – передаточный коэффициент генератора;
n – частота вращения якоря.
Линейная нестационарная модель описывает линейную систему, у которой параметры (или хотя бы один параметр) являются функцией времени. Такая модель может быть представлена линейным дифференциальным уравнением с коэффициентами, зависящими от времени.
ПРИМЕР 4.3.Моделируемый объект – электрическая цепь (рис. 4.4):
Индуктивность обеспечивается катушкой с ферромагнитным сердечником. Сердечник периодически перемещается вдоль оси катушки каким-либо устройством (рис. 4.5). Перемещение сердечника относительно катушки вызывает изменение магнитной проводимости путей замыкания магнитного потока катушки. В результате изменяется потокосцепление ?, т. е. ?(t).
Индуктивность принято рассматривать как коэффициент пропорциональности между потокосцеплением ? и током i:
, (4.8)
откуда
. (4.9)
Cледовательно,
L = L(t). (4.10)
Согласно второму закону Кирхгофа
, (4.11)
где
(4.12)
Сделаем подстановку соотношения (4.12) в уравнение (4.11):
(4.13)
Выразим ток i через uC:
. (4.14)
Сделаем подстановку соотношения (4.14) в уравнение (4.13):
, (4.15)
получим:
(4.16)
Основные понятия дифференциальных уравнений от bezbotvy
