Разглядим сейчас произвольную совокупность из т уравнений с п малоизвестными:
(1)
Определение. Две совокупности линейных уравнений являются эквивалентными, в случае если любое ответ первой совокупности есть кроме этого ответом второй и, напротив, любое ответ второй совокупности есть ответом первой.
К элементарным преобразованиям совокупности отнесем следующие действия:
1. Перестановка двух уравнений совокупности местами;
2. Умножение обоих частей любого уравнения совокупности на число, хорошее от нуля;
3. Прибавление к обеим частям одного уравнения совокупности соответственно обеих частей другого уравнения.
К совокупности (1) применим элементарные преобразования рассмотренного типа. Обе части первого уравнения совокупности (1) умножим на число
, а после этого сложим первое уравнение со вторым. Возьмём новую совокупность
(2)
где
,
,
.
Докажем, что любое ответ совокупности (1) будет ответом совокупности (2). Пускай
— ответ совокупности (1). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям совокупности (2), не считая второго уравнения. Но они и второе уравнение совокупности (2) превращают в верное числовое равенство, т.к. это уравнение выражается через уравнения один и два совокупности (1).
Обратно, всякое ответ совокупности (2) будет ответом совокупности (1). Пускай
— ответ совокупности (2). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям совокупности (1), не считая второго уравнения. Но второе уравнение совокупности (1) возможно взять из второго и первого уравнения совокупности (2). Исходя из этого второе уравнение совокупности (1) при подстановке чисел
также преобразовывается в верное числовое равенство.
Мы доказали, что совокупности (1) и (2) эквивалентны, в частности следующее утверждение.
Утверждение. В случае если к совокупности (1) пара раз применить элементарные преобразования рассмотренного типа, то снова система уравнений останется эквивалентной исходной совокупности (1).
Может произойти, что по окончании элементарных преобразований, в новой совокупности покажется уравнение вида
. (3)
В случае если
, то это уравнение возможно отбросить и решать эквивалентную совокупность. В случае если же
, то это уравнение не имеет решения ни при каких
, исходя из этого совокупность будет несовместной.
Продемонстрируем в этом пункте как посредством элементарных преобразований возможно решить произвольную алгебраическую совокупность линейных уравнений.
Определение. В случае если приписать к А справа столбец свободных участников совокупности (1), то окажется матрица
,
которая именуется расширенной матрицей совокупности (1).
Разумеется, совокупность линейных уравнений и ее расширенная матрица конкретно определяют друг друга.
Вправду, каждому эквивалентному преобразованию совокупности (1) отвечает соответствующее элементарное преобразование расширенной матрицы
и напротив:
- перестановке двух уравнений совокупности местами отвечает перестановка соответствующих строчков матрицы
;
- умножению обоих частей какого-либо уравнения совокупности на число, хорошее от нуля, отвечает умножение на это число соответствующей строки матрицы
;
- сложению двух уравнений совокупности отвечает сложение соответствующих строчков матрицы
.
Утверждение.
.
Подтверждение. Пускай ранг матрицы А равен r, а ранг расширенной матрицы
равен
, т.е.
и
. Подтверждение разобьем на две части.
I) Продемонстрируем, что
. В случае если к матрице А добавить новый столбец, то ранг новой матрицы не уменьшится, поскольку все хорошие от нуля миноры матрицы А будут находиться кроме этого и в расширенной матрице. Следовательно,
. (4)
II) Иначе докажем, что
, так как в случае если к матрице А добавить новый столбец, то ранг матрицы А увеличится не более, чем на единицу.
Предположим неприятное. Пускай
, следовательно, существует минор
матрицы
порядка
.
Минор D в обязательном порядке обязан содержать новый столбец матрицы
, в другом случае D есть минором матрицы А порядка
. Так как порядок этого минора больше ранга матрицы А равного r, то
, что противоречит условию.
Итак, D содержит новый столбец матрицы
. Разложим его по элементам нового столбца:
, где
— алгебраические дополнения. Каждое
есть минором матрицы А порядка
, но все эти миноры равны нулю, т.к. их ранг
. Следовательно,
.
Мы взяли несоответствие с условием, что
. Исходя из этого предположение
неверно. Итак,
. (5)
Из неравенств (4) и (5) направляться, что
либо
. Финиш доказательства.
Теорема (Кронекера-Капелли). Совокупность совместна тогда и лишь тогда, в то время, когда ранг расширенной матрицы
равен рангу матрицы А:
.
Подтверждение. Пускай
. В этом случае посредством метода Гаусса возьмём:
где
.
Вероятны два случая.
I) В случае если
совокупность (1) эквивалентна следующей совокупности:
Переносим слагаемые, которые содержат
, в правую часть, возьмём:
(6)
Малоизвестные
— именуем свободными малоизвестными. Положим
, где
— произвольные числа. Из совокупности (6) находим:
, подставив это значение в предпоследнее уравнение совокупности, отыщем
, и т.д.
В этом случае мы имеем очень много ответов, зависящих от произвольных чисел
.
II) В случае если
, то число уравнений равно малоизвестных и совокупность (1) будет эквивалентна совокупности:
(7)
Из последнего уравнения отыщем
, из предпоследнего
. Продолжая процесс, последовательно отыщем все малоизвестные
. Совокупность (7) будет иметь единственное ответ.
Пускай
. В этом случае, по доказанному утверждению,
и посредством метода Гаусса возьмём:
где
. В этом случае совокупность (1) эквивалентна следующей совокупности:
.
Эта совокупность несовместна, т.к. последнее уравнение противоречит условию
.
Итак, в случае если
, то совокупность несовместна. Финиш доказательства.
Из теоремы направляться, что ответ совокупности линейных уравнений возможно проводить следующим образом:
1. Находим ранг
матрицы и ранг системы расширенной матрицы
. Для этого достаточно матрицу
привести к ступенчатому виду способом Гаусса и отыскать большой ненулевой минор. Его порядок равен рангу
. По ступенчатому виду матрицы
возможно отыскать и большой ненулевой минор матрицы А, порядок которого равен рангу
матрицы совокупности. В случае если
, то совокупность несовместна и не имеет ответов.
2. В случае если
, то совокупность совместна.
Базовым минором назовём отысканный большой ненулевой минор матрицы А, а базовыми малоизвестными совместной совокупности, ранг матрицы которой
, назовём k малоизвестных, коэффициенты при которых образуют базовый минор. Остальные
малоизвестные назовём свободными.
Напомним, что при, в то время, когда число базовых малоизвестных равно малоизвестных совокупности, то совокупность имеет единственное ответ.
В случае если число базовых малоизвестных меньше числа всех малоизвестных, то из соответствующей эквивалентной совокупности находят выражения базовых малоизвестных через свободные. Придавая свободным малоизвестным произвольные значения, приобретают нескончаемое множество ответов исходной совокупности.
Пример. Решить совокупность
Ответ. Выпишем расширенную матрицу совокупности и приведём её к ступенчатому виду.
(8)
Большой ненулевой минор для матрицы совокупности и расширенной матрицы это
. Следовательно,
и совокупность совместна. Так как коэффициенты при малоизвестных
и
образуют базовый минор
, то
,
? базовые малоизвестные, а
? свободное малоизвестное.
Запишем эквивалентную совокупность по последней матрице в цепочке (8) и решим её.
Ответ:
.
Матричный способ ответа совокупностей уравнений
