Эллипсоид.
Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями:
Если |h|c, c0, то
точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.
Если |h|=c, т.е. h=±c, то
. Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности.
Если |h|
Линия пересечения есть эллипс с полуосями.
Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x2+y2+z2=R2
Однополостный гиперболоид.
Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.
Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.
Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:
Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом.
Двуполостный гиперболоид.
Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями
Если |h|
Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).
Если |h|c, то уравнения можно переписать в виде:
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.
У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.
Эллиптический.
При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы
и
. Таким образом, поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.
Гиперболический.
Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую
которая при всех h?0 является гиперболой. При h0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h
При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.
Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка
