Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

Дифференцирование сложных функций След. »

1°. Случай одной независимой переменной. Если z=f(x,y) есть дифференцируемая

функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми

функциями независимой переменной t:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, то производная

сложной функции

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

может быть вычислена по формуле

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

. (1)

В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то полная

производная функции z по х будет:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

(2)

Пример. Найти

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, если

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, где

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

Решение. По формуле (1) имеем:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

Пример. Найти частную производную

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

и полную производную

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, если

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

Решение.

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

На основании формулы (2) получаем

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией

независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является

сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема. Если z == f(x; у) — дифференцируемая в точке М(х;у)

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

D функция

и х = x(t) и у =y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t,

то производная сложной функции z(t) == f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры. (3)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) — сложная функция одной

независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной

t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

или

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) — сложная

функция независимых переменных и и v. Ее частные производные

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

и

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

можно найти,

используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

,

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

соответствующими частными производными

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры. (4)

Аналогично получаем:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры. (5)

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v)

равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным

переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

и

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, если z=f(x,y), где x=uv,

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

Пример. Показать, что функция

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

удовлетворяет уравнению

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

.

Решение. Функция

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

зависит от х и у через промежуточный аргумент

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, поэтому

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Вопрос.производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).примеры.

, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Частные производные функции многих переменных

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector