Данный раздел посвящен одному эргономичному методу раскрытия неопределённостей вида
и
, именуемому правилом Лопиталя.
Но сперва направляться коротко изложить кое-какие нужные сведения о дифференцируемых функциях.
Определение 8.1.Производной функции
в точке
именуется предел
,
в случае если данный предел существует и конечен. Тогда функция
именуется дифференцируемой в точке
Геометрический суть производной.Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции и характеризует скорость трансформации функции.
Теорема 8.1.В случае если функциядифференцируема, то она постоянна.
Замечание 8.1.Из непрерывности функции не нужно её дифференцируемость.
График дифференцируемой функции есть ровной кривой.
Теорема 8.2.Честны следующие правила дифференцирования суммы, разности, отношения и произведения:
.
Потому, что из определения производной направляться, что производная константы равна нулю, то из правила дифференцирования произведения вытекает
Следствие 8.1.
, где
— константа.
Справедливо следующее правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 8.2.Пускай
, где
, причём
и
. Тогда
.
Нижний индекс показывает переменную дифференцирования.
-26-
Приведём таблицу производных главных элементарных функций.
1.
; 2)
;
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
; 
; 9)
;
; 11)
.
.
Теорема 8.3 (Лопиталь).Пускай предел
есть неопределённостью вида
либо
, причём функции
и
дифференцируемы в окрестности точки
не считая, возможно, самой точки
, и
. Пускай существует предел
Тогда существует и предел
, причём
Замечание 8.2.Величины
и
смогут быть и нескончаемыми.
Замечание 8.3.В случае если предел
есть неопределённостью вида
либо
и функции
удовлетворяют условиям теоремы 8.3, то возможно снова применить правило Лопиталя, т.е.
.
Замечание 8.4.В теореме 8.3 утверждается, что из существования предела
направляться их равенство
и существование предела. Но быть может, что предел
не существует, а предел
существует.
Пример 8.1.
не существует.
-27-
Замечание 8.5.Потому, что правило Лопиталя применимо лишь к неопределённостям вида
и
, то при повторном применении правила Лопиталя направляться контролировать, осталась ли неопределённость. В противном случае возможно взять неверный ответ.
Пример 8.2.
(см. (5.1).
Увидим, что предел
ранее был вычислен без применения правила Лопиталя (см. подтверждение (6.10)).
Увидим, что довольно часто, перед тем как использовать правило Лопиталя, не редкость целесообразно бесконечно малую заменить на эквивалентную.
Пример 8.3.
При дифференцировании знаменателя окажется громоздкое выражение, тем более, при повторном дифференцировании. Но в силу (6.1), (6.4) и (6.5)
, и тогда
, т.е. с точностью до коэффициента
данный предел сходится с пределом, рассмотренным в примере 8.2.
Пример 8.4.
Нетрудно осознать, что, используя
раз правило Лопиталя, возможно доказать, что
для любого натурального
. Т.е. экспонента растёт стремительнее любой степени.
Пример 8.5.
Подобным образом возможно доказать, что
0 для любого хорошего
. Т.е. логарифм растёт медленнее любой сколь угодно -28-
малой хорошей степени.
Пример 8.6.
Потому, что правило Лопиталя применимо лишь к неопределённостям вида
и
, то необходимо представать предел следующим образом:
Тогда
Подобным образом возможно доказать, что
для любого хорошего
Пример 8.7.
.
В силу логарифмического тождества
. Тогда
=1 (см. пример 8.5).
Пример 8.8.
.
Поступив так же, как в примере 8.7, в силу примера 8.6 возьмём:
=
=1.
Варианты контрольных заданий.
Вариант 1
Расписать на языке
.
Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
1.
2.
3.
4.
.
.
7.
. 8.
. 9.
-29-
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
. 11.
.
Вариант 2
Расписать на языке
.
Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
1.
2.
3.
4.
.
.
7.
. 8.
. 9.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
. 11.
.
Вариант 3
Расписать на языке
.
Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
1.
2.
3.
4.
.
.
7.
. 8.
. 9.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
. 11.
Вариант 4
Расписать на языке
.
Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
1.
2.
3.
-30-
4.
.
.
7.
. 8.
. 9.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
. 11.
Вариант 5
Расписать на языке
.
Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
1.
2.
3.
4.
.
.
7.
. 8.
. 9.
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10.
. 11.
Правило Лопиталя
