В этом разделе рассмотрим ряд типовых задач на вычисление пределов.
Пример 7.1.
.
Предел 7.1 представляет из себя неопределённость вида
( всюду ниже, чтобы указать вид неопределённости, мы будем просто приравнивать предел к соответствующему обозначению неопределённости).
Для вычисления подобных пределов нужно числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень, а затем воспользоваться теоремами 3.7, 3.3 и 3.4. Имеем:
.
Пример 7.2.
Пример 7.3.
Здесь используется, что величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой (теорема 3.3).
Заметим, что пределы 7.2 и 7.3 можно было бы посчитать и несколько иначе:
-19-
Проанализировав решения примеров7.1 – 7.3, нетрудно понять, что справедлива следующая
Теорема 7.1.Пусть
и
– многочлены степеней
соответственно, т.е.
,
,
,
Пусть
Тогда: 1) если
; 2) если
3) если
Рассмотрим теперь пределы отношений многочленов при
, стремящемся к конечному числу.
Пример 7.4.
.
В силу теорем 4.1 и 4.2 рассматриваемая функция является непрерывной. Это означает, что
.
Пример 7.5.
.
Положив
, получим, что
Пример 7.6.
.
Положив
, получим, что
Пример 7.7.
.
Положив
, получим, что
, т.е., в отличие от пределов 7.4 – 7.6, предел 7.7 является неопределённостью вида
То, что при
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, означает. Что каждый из них разлагается на множители, один из которых равен
Найдя корни
-20-
числителя и знаменателя, разложив последние на множители, получим:
.
Пример 7.8.
.
Положив
, получим, что
Разложим числитель по формуле разности кубов. Для разложения на множители знаменателя разделим его на
. Тогда получим:
.
Пример 7.9.
.
Положив
, получим:
Для раскрытия этой неопределённости нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, т.е. на
, и разложить знаменатель на множители:
.
Пример 7.10.
Для раскрытия неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на
и разложим знаменатель на множители. Тогда получим:
.
-21-
Пример 7.11.
Разложив знаменатель на множители и умножив числитель и знаменатель на
, в силу формулы разности кубов
получим:
.
Пример 7.12.
.
Для раскрытия неопределённости
умножим и разделим на сопряженное выражение
. Тогда получим:
.
Разделив числитель и знаменатель на
получим:
Пример 7.13.
.
Заметим, что этот предел не имеет ничего общего с первым замечательным пределом (5.1). Поскольку
, а
– бесконечно малая при
, то
Перейдём теперь к пределам, при вычислении которых используются замечательные пределы или, что то же самое, таблица эквивалентности.
Пример 7.14.
-22-
Сначала особо заметим, что если в разности, стоящей в числителе предела
Вычисление пределов #10
