Пускай
— точка сгущения множества
. Тогда она есть точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств
и
К тому же, точкой сгущения обоих этих множеств, в один момент, она может и не быть, поскольку одно из них возможно, к примеру, безлюдным.
Пускай
. Положим
и
.
Определение 1. Пускай
— точка сгущения множества
(соотв.,
). В случае если существует предел
(соотв.,
), то он именуется левосторонним (соотв., правосторонним) пределом функции
в точке
, либо кроме этого пределом функции
при
слева (соотв., при
справа).
В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «простой» предел функции
при
именуется время от времени двусторонним.
Левосторонний предел функции
в точке
обозначается в большинстве случаев одним из знаков
либо
,
а правосторонний, соответственно, – одним из знаков
либо
..
Замечание 1. Потому, что односторонние пределы являются одновременно с этим и простыми пределами, то для них честны все теоремы, каковые устанавливаются для простых двусторонних пределов.
Теорема 1. Пускай
,
и
– точкасгущения каждого из множеств
и
. Тогда, в случае если существуют равные между собой односторонние пределы
и
, то существует и равный им двусторонний предел
=
=
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В первую очередь увидим, что пересечение любых двух окрестностей точки
есть окрестностью данной точки.
Пускай
=
=
и
— произвольная окрестность точки
.
По определению
имеем:
— окрестность точки точки
такая, что
|
(1) |
Подобно, по определению
имеем:
— окрестность точки
такая, что
|
(2) |
Разглядим сейчас следующую окрестность точки
:
. Разумеется,
и
.
Следовательно,
,
и, помимо этого, ясно, что
.
Исходя из этого из (1) и (2) направляться, что
В силу произвольности выбранной окрестности
точки
, это и свидетельствует, что
?
§4. Расширение понятия предела: пределы и бесконечные пределы в бесконечности
Определения.1. Окрестностью точки
в
именуется всякое множество
, которое содержит некую
-окрестность
данной точки.
2. Окрестностью точки
в
именуется любой промежуток вида
, где
.
3. Окрестностью точки
в
именуется любой промежуток вида
, где
.
4. Пускай
и
–окрестность данной точки (в
). Тогда множество
именуется проколотой окрестностью точки
.
5. Точка
именуется точкой сгущения множества
, в случае если для любой окрестности
данной точки
?.
Сейчас естественным образом возможно увеличить понятие предела
для случая, в то время, когда обе либо одна из точек
и
являются нескончаемыми точками расширенной числовой оси
. Соответствующее определение практически дословно повторяет определение 2” из §1.
Определение 6.Пускай
– функция сгущения и
точка множества
выяснена на множестве
. Конечное либо нескончаемое число (точка)
именуется пределом функции
при
(либо в точке
), в случае если для любой окрестности
точки
(в
) существует такая окрестность
точки
(в
), что
.
Замечание 1. Для разных типов точек
и
определение 5 возможно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. К примеру, равенство
свидетельствует, что
такое, что
.
Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что свидетельствует
А)
,
Б)
,
В)
,
Г)
(
),
Д)
(
),
Е)
(
),
Ж)
(
).
Замечание 2. В случае если существуют пределы функции
как при
, так и при
, причем
,
то пишут
.
Односторонние пределы #1
