Если функция n раз дифференцируема, при этом
,
, …,
, и
. Тогда:
если n нечётно то эrстремума нет,
если n чётно, то: при
— то в точке
минимум,
при
в точке
максимум.
(т.е. если чётно, то аналогично 2-й производной).
Доказательство.
Запишем формулу Тейлора, причём перенесём
влево.
Но ведь здесь первые слагаемые обнуляются по условию теоремы.
,
, …,
, тогда начинается именно с n-го слагаемого.
, где
— бесконечно малая более высокого порядка, чем n, то есть в некоторой окрестности она по модулю меньше чем
и её знак уже не влияет на знак всего выражения. Тогда фактически, тогда знак разности
в окрестности точки
зависит от знака выражения
.
При чётном n множитель
всегда неотрицателен
n! по построению положительное число
.
Значит, при
получится всё выражение
, тогда
в окрестности точки
, то есть
. Это значит, что в точке
минимум.
А если
, то
, и тогда
а значит,
. Это значит, что в точке
максимум.
Если n нечётно, то разного знака в правой и в левой полуокрестности, то есть какого бы знака ни было число
, выражение
меняет знак при переходе из правой в левую полуокрестность. Тогда
и
в той или иной полуокрестности, и экстремума нет.
Видеоурок
