Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство
(для больших
).
Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение.
I Интегралы от положительных функций
Пусть
на
.Тогда определенный интеграл
как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая (это следует из общих свойств определенного интеграла).
Теорема 1. Несобственный интеграл 1го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция
остается ограниченной при увеличении
.
Эта теорема – следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т.н. признаки сходимости.
Теорема 2 (1-й признак сравнения). Пусть функции
и
непре-рывны на
и удовлетворяют неравенству
. Тогда:
1) если интеграл
сходится, то и
сходится;
2) если интеграл
расходится, то и
расходится.
Доказательство. Обозначим:
и
. Так как
, то
. Пусть интеграл
сходится, тогда (в силу теоремы 1) функция
? ограничена. Но тогда и
ограничена, а значит, интеграл
тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы.
Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от
или сходимости интеграла от
. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения.
Теорема 3 (2-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны и неотрицательны на
. Тогда, если
при
, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:
,
,
.
Пусть, например,
. Тогда:
.
Применим теорему 2 и свойство 1) из §1 и получим утверждение теоремы 3.
В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция
,
. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл
сходится при
и расходится при
.
Примеры. 1.
.
Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке
:
,
.
Интеграл
сходится, ибо
. По 2-му признаку сравнения сходится и интеграл
, а в силу свойства 2) из §1 сходится и исход-ный интеграл.
2.
.
, то cуществует
такое, что при
. Для таких значений переменной:
.
Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, т.е.
,
а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Поэтому
.
Интеграл
сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и
. Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл сходится. И снова свойство 2) из §1 доказывает сходимость исходного интеграла.
Что такое несобственный интеграл — bezbotvy
