Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

Эти признаки совершенно аналогичны признакам сходимости для несобственного интеграла 1-го рода. Приведем лишь их формулировки.

Теорема 1 (1-й признак сравнения). Пусть функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

и

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

непрерывны на

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

и

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

– их общая особая точка. Если они удовлетворяют условию

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

, то:

1) из сходимости интеграла от функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

следует сходимость

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

интеграла от функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

;

2) из расходимости интеграла от функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

следует расходимость

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

интеграла от функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Теорема 2 (2-й признак сравнения). Пусть функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

и

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

непрерывны и неотрицательны на

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

и

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

– их общая особая точка. Если при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

эти функции эквивалентны, то несобственные интегралы

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

и

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

сходятся или расходятся одновременно.

В качестве эталонного интеграла 2-го рода берут интеграл вида

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

,

который сходится при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

, и расходится при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Примеры. 1.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

При

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

(0 – особая точка)

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

. Кроме того

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

на

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

. Т.к. интеграл

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

расходится, то и данный интеграл также расходится.

2.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

. Особая точка:

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Прежде всего, разложим подкоренное выражение на множители:

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода
Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Теперь нетрудно получить при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

оценку

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

=

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Интеграл

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

сходится как эталонный, следовательно сходится и данный интеграл.

Теорема 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

, то сходится и интеграл

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

(такую его сходимость называ-ют абсолютной).

Пример 3.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Рассмотрим модуль подынтегральной функции при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

:

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Интеграл

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

сходится как эталонный. Последовательно применяя 2-й и 1-й признаки сравнения, получим, что

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

сходится. Значит, и исходный интеграл сходится, причем абсолютно.

Пример 4.

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Если к этому интегралу применить (незаконно!) свойство линейности, то получим разность двух несобственных расходящихся интегралов. На самом же деле для подынтегральной функции

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

нетрудно получить эквивалент-ность в особой точке

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

. Действительно,

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Значит,

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

при

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

, и исходный интеграл сходится вместе с эталонным

Признаки сходимости несобственного интеграла 2-го рода

.

Семинар 7: Решение задач. Несобственные интегралы 1-го рода

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector