Эти признаки совершенно аналогичны признакам сходимости для несобственного интеграла 1-го рода. Приведем лишь их формулировки.
Теорема 1 (1-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны на
и
– их общая особая точка. Если они удовлетворяют условию
, то:
1) из сходимости интеграла от функции
следует сходимость
интеграла от функции
;
2) из расходимости интеграла от функции
следует расходимость
интеграла от функции
.
Теорема 2 (2-й признак сравнения). Пусть функции
и
непрерывны и неотрицательны на
и
– их общая особая точка. Если при
эти функции эквивалентны, то несобственные интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
В качестве эталонного интеграла 2-го рода берут интеграл вида
,
который сходится при
, и расходится при
.
Примеры. 1.
.
При
(0 – особая точка)
на
. Т.к. интеграл
расходится, то и данный интеграл также расходится.
2.
. Особая точка:
.
Прежде всего, разложим подкоренное выражение на множители:
.
Теперь нетрудно получить при
оценку
=
.
Интеграл
сходится как эталонный, следовательно сходится и данный интеграл.
Теорема 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл
, то сходится и интеграл
(такую его сходимость называ-ют абсолютной).
Пример 3.
.
Рассмотрим модуль подынтегральной функции при
:
.
Интеграл
сходится как эталонный. Последовательно применяя 2-й и 1-й признаки сравнения, получим, что
сходится. Значит, и исходный интеграл сходится, причем абсолютно.
Пример 4.
.
Если к этому интегралу применить (незаконно!) свойство линейности, то получим разность двух несобственных расходящихся интегралов. На самом же деле для подынтегральной функции
нетрудно получить эквивалент-ность в особой точке
. Действительно,
.
Значит,
при
, и исходный интеграл сходится вместе с эталонным
.
Семинар 7: Решение задач. Несобственные интегралы 1-го рода