Тематический замысел:
— Понятие вариационной производной. Вариационная производная линейного функционала. Дифференцирование произвольного функционала.
— Функциональный способ описания случайных полей
— Характеристический функционал. Характеристический функционал гауссовой случайной функции с нулевым средним значением.
— Вычисление моментов случайной функции функциональным дифференцированием характеристического функционала случайной функции.
— Переход от уравнения Гельмгольца к параболическому уравнению — введение выделенной переменной.
— Понятие случайного Марковского процесса.
— Уравнение для среднего поля в первом (диффузионном) Марковском приближении. Его ответ.
— Границы применимости диффузионного Марковского приближения и уравнение второго Марковского приближения для среднего поля.
— Уравнение для пространственной функции когерентности в первом Марковском приближении. Его ответ в виде интеграла Фурье по центральной поперечной переменной.
Учебная информация:
Во всех рассмотренных приближенных способах описания распространения волн в случайно-неоднородных средах употреблялось предположение о малости флуктуации диэлектрической проницаемости. Оно или лежало в самой основе метода (способ малых возмущений для правильного волнового уравнения), или вводилось вследствие того что без него не было возможности продвинуться в ответе приближенных уравнений (геометрическая оптика, способ плавных возмущений). Лишь наряду с этим предположении получалось выразить посредством указанных методов в явном приближенном виде волновое поле в случайной среде либо его фазу и амплитуду через
. Для нахождения статистических черт разных параметров волны нужно было только выполнить сглаживание взятых выражений либо их комбинаций. Очевидно, применение в той либо другой форме теории возмущений по е налагает на границы применимости этих способов достаточно твёрдые ограничения. К примеру, ни один из рассмотренных выше способов ответа стохастического волнового уравнения не разрешает дать адекватное описание сильных флуктуации волнового поля.
Для анализа физических задач, обрисовываемых совокупностью обычных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, используют аппарат марковских случайных процессов. Наряду с этим во многих случаях возможно получить уравнения конкретно для распределений вероятностей либо для усредненных размеров — моментов и т. п. При динамических совокупностей, подверженных случайным параметрическим действиям, для применения аппарата марковских случайных процессов выяснилось нужным выполнение следующих условий.
Во-первых, обязан выполняться принцип динамической причинности: ответ в некий момент времени должно функционально зависеть только от предшествующих по времени значений случайных коэффициентов.
Во-вторых, время корреляции случайных действий (т. е. случайных функций, входящих в уравнения) должно быть малым если сравнивать с мельчайшим характерным временем отклика динамической совокупности. В этом случае вероятна аппроксимация корреляционных функций случайных действий дельта-функциями от времени.
При исполнении обоих условий выяснилось вероятным получить замкнутое уравнение для плотности возможностей состояния динамической совокупности. При гауссовых дельта-коррелированных коэффициентах это было дифференциальное уравнение Эйнштейна—Фоккера. В случае если динамическая совокупность к тому же линейна, то возможно взять замкнутые уравнения и для моментов.
Аппроксимация марковским случайным процессом применяет, в отличие от теории возмущений, второй небольшой параметр — отношение
, т. е. времени корреляции действий
ко времени корреляции отклика
. Нулевому приближению по этому параметру и отвечает марковское приближение. Для законности таковой аппроксимации, очевидно, смогут потребоваться кроме этого ограничения интенсивности флуктуации параметров, но появляющиеся наряду с этим неравенства содержат и параметр
, так что ограничения интенсивности флуктуации оказываются менее твёрдыми.
Возможно ли применить теорию марковских процессов к задаче о распространении волн в случайно-неоднородной среде, т. е. к задаче о случайных полях?
В первую очередь, само понятие марковского процесса предполагает наличие упорядоченной переменной (подобной времени), без наличия которой нереально формулировать главное собственныйство таких процессов — возможность представления многоточечной плотности возможностей в виде произведения возможностей перехода. Ясно, что упорядоченную переменную возможно ввести только в отношении одной координаты. Следовательно, возможно сохранять надежду обрисовать распространение волны как марковский случайный процесс или в одномерной задаче (к примеру, для случайно-неоднородной слоистой среды), или же в том случае, в то время, когда одна из координат физически выделена по отношению к вторым (к примеру, при распространении плоской волны либо узконаправленного пучка излучения).
Потом, в случае если из трех пространственных переменных удастся выделить одну, играющуюся в указанном выше смысле роль времени, то по данной координате должно выполняться условие динамической причинности, т. е. разглядываемое волновое поле должно функционально зависеть только от предшествующих (по данной координате) значений случайного параметра. В общем случае волновое поле не удовлетворяет этому требованию, поскольку в неоднородной среде присутствуют волны, рассеянные как вперед, так и назад, а наличие волн, рассеянных назад, обусловлено теми неоднородностями среды, каковые расположены за точкой наблюдения.
Однако для одномерного уравнения Гельмгольца
обрисовывающего распространение скалярной волны в слоистой среде, возможно ввести функцию
удовлетворяющую уравнению первого порядка
и «начальному» условию (т. е. граничному условию, к примеру, при z = 0). При таких условиях значения R (z) функционально зависят только от
при
, так что условие причинности для R выполнено и эту функцию возможно аппроксимировать марковским случайным процессом, в случае если радиус корреляции для
мал.
Но для волн в среде, содержащей трехмерные неоднородности, не удается ввести подобную функцию, для которой выполнялся бы принцип причинности. Тут переход к аппроксимации распространения волны марковским случайным процессом вероятен только в том случае, в то время, когда законно пренебрежение волнами, рассеянными назад.
Как мы установили, приближение параболического уравнения именно и соответствует пренебрежению рассеянными назад волнами. Помимо этого, в МПУ имеется физически выделенная координата — на протяжении направления распространения волны, падающей на неоднородную среду. Так, в приближении параболического уравнения переход к аппроксимации распространения волны в среде со случайными неоднородностями марковским процессом, по большому счету говоря, вероятен, но нужно еще предварительно узнать, каково соотношение между характерными продольными масштабами флуктуации в и флуктуации волнового поля
.
Значительное математическое отличие неодномерной задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах, содержится в том, что динамическое уравнение есть сейчас уравнением в частных производных. Вместо случайной величины (либо случайного вектора) мы имеем тут при каждом фиксированном значении z двумерное случайное поле
. Распределения же возможностей случайного поля всецело задаются, как мы знаем, характеристическим функционалом. Исходя из этого уравнение Эйнштейна — Фоккера в интересующих нас случаях должно определять не функцию, а функционал. Вследствие этого оно значительно сложнее, чем для динамических совокупностей с конечным числом степеней свободы: вместо уравнения в простых частных производных оно выясняется уравнением с функциональными производными. Чтобы упростить собственную задачу, мы ограничимся исходя из этого выводом уравнений для моментов поля
.
Как мы убедились на примере динамических совокупностей с конечным числом степеней свободы, замкнутые уравнения для моментов возможно взять из уравнения Эйнштейна — Фоккера лишь при линейных совокупностей. Потому, что параболическое уравнение (6.4) линейно, возможно и тут сохранять надежду на получение замкнутых уравнений для моментов. В отличие от (6.4), исходное уравнение МПВ (6.3) нелинейно, и исходя из этого взять из соответствующего функционального уравнения Эйнштейна — Фоккера замкнутые уравнения для моментов комплексной фазы Ф не удается (не обращая внимания на то, что ответ уравнения (6.3) для Ф удовлетворяет условию причинности).
Перейдем сейчас к оценкам продольных радиусов корреляций флуктуаций разных параметров поля. Наряду с этим мы будем основываться на итогах, взятых в МПВ.
Продольный радиус корреляции флуктуации фазы и интенсивности (либо уровня) возможно оценить, исходя из качественных мыслей. Мы видели, что фаза волны определяется всеми неоднородностями, каковые пересекает приходящий в точку наблюдения луч. Для оценки можно считать, что разные неоднородности вносят в фазу свободные вклады
. Набег фазы на протяжении луча, прошедшего через п неоднородностей, равен
. Для второй точки наблюдения, лежащей на том же луче, набег фазы будет
. В случае если n’ п, т
о и, следовательно
потому, что
при k п. Коэффициент корреляции равен исходя из этого
Но
, где z – протяженность расстояния, пройденной волной в неоднородной среде. Из этого следует, что
. (7.1)
Эту формулу возможно взять и более строго при помощи МГО либо МПВ. В случае если зафиксировать
и положить
, то, в соответствии с,
Так, продольный радиус корреляции фазы имеет порядок величины r, т. е. он многократно больше радиуса корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Но, как мы уже убедились ранее, это и имеется то нужное условие, которое разрешает переходить к приближению марковского случайного процесса.
Оценим сейчас продольный радиус корреляции флуктуации уровня. Мы уже подсчитали порядок величины фокусного расстояния характерной неоднородности с размером
, и отклонением диэлектрической проницаемости от среднего значения, равным
:
В случае если
, то
. В области применимости МПВ все «линзы» можно считать не сильный, т. е.
. В этом случае к амплитудным флуктуациям возможно применить те же соображения, каковые только что были использованы при опенке продольного радиуса корреляции фазы. В случае если же условие
не выполняется, то точка наблюдения может попадать в область фокусировки излучения, где флуктуации интенсивности не мелки.
Но при
мы имеем и в этом случае
так что протяженность по оси z «области влияния» каждой неоднородности намного превышает размер самой неоднородности.
Разбирая амплитудные флуктуации, направляться учесть и тот случай, в то время, когда размер неоднородностей мелок если сравнивать с радиусом первой территории Френеля:
. Тут уже нельзя использовать геометрическую оптику, а нужно привлечь для оценок главные положения теории дифракции. Как мы знаем, дифракция на неоднородности размера
начинает существенно проявляться на расстоянии порядка
от нее. Исходя из этого фокусирующее воздействие неоднородностей вероятно только на расстояниях, не превышающих
. Так, «область влияния» неоднородности имеет продольный масштаб
и условие
, при котором возможно применять приближение марковского случайного процесса, принимает вид
, т. е.
Как мы видим, для не сильный крупномасштабных неоднородностей и флуктуации продольный радиус корреляции амплитудных флуктуации оказывается во всех рассмотренных случаях большим если сравнивать с размерами неоднородностей, что и необходимо для применимости приближения марковского случайного процесса.
Очевидно, приведенные качественные мысли не могут служить строгим обоснованием марковского приближения. Все же направляться выделить, что нам нигде не было нужно делать предположение о малости флуктуации амплитуды волны. Исходя из этого возможно сохранять надежду, что марковское приближение окажется пригодным и для описания сильных флуктуации поля, в случае если лишь возможно пренебречь волнами, рассеянными назад.
Используем аппроксимацию корреляционной функции
дельта-функцией:
и было продемонстрировано, что подстановка
вместо
приводит при расчете фазы флуктуации и спектров амплитуды к верным итогам, в случае если выполнены условия
Потому, что корреляционная функция
связана с двумерной спектральной плотностью
формулой
легко установить, что замена (7.3) эквивалентна следующей замене корреляционной функции:
где
(в силу четности А(?) возможно применять любой символ показателя экспоненты).
Разглядим интеграл от
по продольной координате ?. Применяя трехмерное спектральное разложение
и интегрируя его по ? в нескончаемых пределах, приобретаем
Иначе, интеграл по ? от аппроксимирующей корреляционной функции
также дает функцию
, так что справедливо равенство
В будущем довольно часто будет видеться комбинация
Функция
зависит от двумерного вектора ? и выражается при помощи двумерного преобразования Фурье через трехмерную спектральную плотность
.
В случае если случайное поле
есть гауссовым, то для его полного статистического описания хватает задания корреляционной функции
и, например, действенной корреляционной функции вида (7.4). Но если не предполагать нормальности поля
, то нужно задавать и более высокие моменты
Для гауссова поля
из дельта-коррелированности по z вытекает, что при любых
случайные размеры
и
статистически свободны. Но для негауссовых полей некоррелированность еще не влечет за собой независимости. Оказывается, что для негауссовых полей
условие, аналогичное (7.4), при котором для моментов случайного волнового поля
возможно взять замкнутые уравнения, формулируется следующим образом. Пускай
и
удовлетворяют при любых i, j условиям
Тогда совокупности случайных размеров
и
должны быть статистически свободны. Аналогом дельта-коррелированности тут есть то, что при любом сколь угодно малом «зазоре» между переменными обеих групп уже наступает их полная статистическая независимость.
Как мы знаем, что совместные кумулянты для нескольких случайных размеров обращаются в нуль, в случае если среди этих размеров имеется хотя бы одна, статистически свободная от остальных. Исходя из этого совместные кумулянты для
и
должны обращаться в нуль. Иначе, для негауссовых случайных размеров высшие кумулянты должны быть хорошими от нуля. Из этого следует, что кумулянты для случайных размеров
должны иметь вид дельта-функций по переменным zi:
удовлетворяющие этому условию, мы и будем именовать дельта-коррелированными по z.
Елютин П. В. — Квантовая теория — Адиабатическое приближение (Лекция 17)
