Тематический замысел:
— Переход от уравнения Гельмгольца к интегральному уравнению для поля. Его ответ в виде последовательности теории возмущений по малым флуктуациям диэлектрической проницаемости.
— средняя интенсивность и Корреляционная функция поля.
— Дифференциальное и полное (интегральное) сечение рассеяния.
— рассеяния применимости и Пределы теории.
— Приближение однократного рассеяния для электромагнитных волн.
— Рассеянные электрическое и магнитное поля в зоне Фраунгофера.
— Вектор Пойнтинга.
— Сечение рассеяния векторного поля.
— Рассеяние линейно- и эллиптически поляризованного поля.
Учебная информация:
Случайные неоднородности настоящих сред воздействуют на характеристики поля, распространяющихся в этих средах, и появляющиеся наряду с этим явления очень разнообразны. флуктуации радиоизлучения и Мерцание звёзд от внеземных источников, замирания (фединги) радиоволн и релеевское рассеяние света, уширение лазерных пучков в тропосфере и рассеяние звука в море — это только немногие примеры замечаемых эффектов. Изучением для того чтобы рода эффектов занимается статистическая теория распространения и рассеяния воли.
Задачи о распространении волн в средах с флуктуирующими параметрами решаются, в большинстве случаев, приближенными способами. Дело в том, что соответствующие дифференциальные уравнения содержат в коэффициентах случайные функции точки (а быть может, и времени), обрисовывающие неоднородную среду. Правильное ответ таковой параметрической задачи означало бы, что мы в состоянии написать, к примеру, функцию Грина для любых реализаций входящих в уравнения случайных функций, что фактически ни при каких обстоятельствах не осуществимо. Это и вынуждает обращаться к приближенным способам. Темперамент приближения зависит, очевидно, от постановки задачи — слабо либо очень сильно флуктуируют параметры среды, каково соотношение между размерами неоднородностей и длиной волны, какова геометрия задачи (протяженность автострады, ширина волнового пучка) и т. д. При всем разнообразии конкретных условий большая часть задач типа 2) возможно решена при помощи маленького числа созданных к настоящему времени приближенных способов.
В случае если относительные флуктуации параметров среды достаточно не сильный, а рассеянное поле мало если сравнивать с полем первичной волны, то используется способ малых возмущений. Анализ полей, вычисленных в первом порядке теории возмущений, образовывает содержание теории однократного рассеяния, которой и посвящена эта глава.
При нарушении условий применимости теории однократного рассеяния (флуктуации в среде не хватает не сильный, рассеянное поле не мало) нужно принимать к сведенью двух-, трех- и т. д. кратное рассеяние поля, т. е. необходимо строить теорию с учетом многократного рассеяния волн. При не сильный, но больших (если сравнивать с длиной волны) неоднородностей многократно рассеянные волны только незначительно уклоняются от направления распространения первичной волны. В таких условиях многократное расселине действенно описывается способом геометрической оптики (МГО) и примыкающими к нему более неспециализированными коротковолновыми асимптотическими способами теории дифракции — способом плавных возмущений (МПВ) и способом параболического уравнения (МПУ).
Вторая возможность учета многократного рассеяния волн основана на приближенном суммировании последовательностей теории возмущений (по большей части при помощи способов, развитых первоначально и квантовой электродинамике). При таком подходе удается, например, разглядеть не только не сильный, но и сильные флуктуации среды. Но наряду с этим нужно, дабы неоднородности были мелкомасштабными.
Начнем с несложной постановки задачи: волновое поле u(t, r) будем вычислять скалярным и монохроматическим (
), а неоднородности среды — неменяющимися со времени и покоящимися. Не смотря на то, что при скалярной постановке задачи не охвачена поляризация, она достаточна для последовательности общеволновых явлений, таких, как дифракция и интерференция.
При вышеуказанных условиях распространение волны в неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца
где
— волновое число в невозмущенной среде либо в случае электрического поля — в вакууме. Функцию
, обрисовывающую неоднородность среды, мы будем именовать (диэлектрической) проницаемостью, имея в виду по большей части электромагнитное поле. Для случайно-неоднородной среды проницаемость
возможно представить в виде
где
— среднее (по ансамблю реализаций среды) значение
, а
— флуктуации проницаемости. Уравнение Гельмгольца принимает наряду с этим вид.
Неспециализированных способов ответа кроме того для того чтобы несложного волнового уравнения не существует. Самый распространенным из приближенных способов есть способ возмущений: флуктуации
считаются достаточно не сильный, а волновое поле
ищется в виде последовательности по степеням
, либо, что то же — по степеням
. Дабы выстроить таковой последовательность, комфортно перейти от дифференциального уравнения (4.3) к эквивалентному интегральному уравнению.
Пускай
— поле первичной волны, удовлетворяющее невозмущенному уравнению Гельмгольца, т. е. уравнению (4.3) при
:
Обозначим через
невозмущенную функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению для точечного источника
Очевидно, первичное поле и0 и функция Грина G удовлетворяют нужным граничным условиям. Ответ неоднородного уравнения
выражается через функцию Грина следующим образом:
Записав исходное уравнение (4.3) в форме
и применяя (4.6), приобретаем следующее интегральное уравнение для волнового поля:
где интегрирование распространяется, разумеется, на область V, занятую неоднородностями
. Уравнение (4.8) эквивалентно исходному дифференциальному уравнению (4.3), но учитывает (через функцию G) и все граничные условия задачи.
Последовательность теории возмущений cтроится методом итерирования интегрального уравнения (4.8). Чтобы получить первую итерацию, запишем значение поля в точке
:
и подставим это выражение в правую часть (4.8). Это дает
Записав значение поля
в точке
и подставив его в правую часть (4.9), возьмём вторую итерацию. Повторяя такую операцию, мы и возьмём нескончаемый последовательность теории возмущении:
В математике данный последовательность именуется рядом Неймана для интегрального уравнении (4.8), а в физике — борновским разложением.
Первый член борновского последовательности (4.10) — первичное поле
. Второе слагаемое,
обрисовывает однократно рассеянное поле. Оно порождено непосредственно первичным полем
и линейно довольно возмущений
. Третье слагаемое в (4.10) возможно представить в форме, подобной (4.11):
Это — двукратно рассеянное поле, порожденное уже не первичным, а однократно рассеянным полем. Двукратно рассеянное ноле со своей стороны возбуждает трехкратно рассеянные волны
, и т. д. Так, последовательность теории возмущений (4.10) воображает собой разложение рассеянного поля
no кратности рассеяния:
Из самого метода построения этого последовательности видно, что n-й его член, обрисовывающий n-кратное рассеяние, содержит под знаком n-кратного интеграла произведение
. Из этого следует, что для вычисления кроме того среднего значения поля
нужно знать для
моменты
любого порядка. При произвольной статистике
нахождение таких моментов само по себе представляет непростую задачу, но в случае если кроме того она и разрешима (как, к примеру, при обычного распределении), то остается еще открытым вопрос о способах суммирования усредненных последовательностей теории возмущений. Тут же мы ограничимся более несложной задачей нахождения статистических черт поля в приближении однократного рассеяния (так именуемое первое борновское либо, чаще, легко борновское приближение).
В этом приближении флуктуации
предполагаются настолько малыми, что в разложении (4.13) возможно ограничиться первым участником
. В этом случае в качестве заданных источников
выступает правая часть уравнении (4.7) с
вместо и:
. Так, в приближении однократного рассеяния задача о распространении волн в случайно-неоднородных средах (задача типа 2)) сводится к задаче типа 1) — возбуждению полей заданными случайными источниками.
В соответствии с (4.11) рассеянное поле
есть линейным функционалом от флуктуации
. Исходя из этого и все моменты поля
, линейно же выражаются через моменты е того же порядка. В частности, у однократно рассеянного поля
среднее значение равняется нулю, потому, что
, а корреляционная функция
линейно выражается через функцию корреляции неоднородности
:
Выражение (4.14) и подобные квадратуры для высших моментов рассеянного поля
в принципе дают полное статистическое ответ задачи в разглядываемом борновском приближении. Но данный математический итог еще испытывает недостаток в физическом истолковании.
Клим Жуков о теории пассионарности Гумилева
