Рассмотрим несобственный интеграл
, где f(х)?0.
Формулировка критерия сходимости
Необходимым и достаточным условием сходимости несобственного интеграла от положительной функции
будет ограниченность
при любом b, т.е. существование l0, для которого
при любом bа.
Из этого критерия следует признак сравнения несобственных интегралов для положительных функций:
Если f(х) и g(х) положительные, причем f(х) ? g(х) при ха, то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
. Этот признак можно усилить следующим образом: достаточно потребовать, чтобы неравенство f(х) ? g(х) выполнялось не для всех ха, но хотя бы для хА, где Аа.
Чаще всего выбирают для сравнения степенную функцию вида
. Мы знаем, что
сх. при g1 (а0) и расходится при g?1 ибо при g1 имеем
.
Часто для сравнения привлекают экспоненциальную функцию g(х)=е-?х(?0)
– сходится при любом ?0. Например,
=1 –cxодится. Но тогда сходится, например, и
, ибо
e-x при х1.
Признак сравнения можно сформулировать в следующей удобной форме: (f(x) и g(x) – положительные функции на [а, ?) ):
Пусть
0?К?+?. При 0 и
либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
При К=+? из сходимости
следует сходимость
, а при К=0 из расходимости интеграла
, следует расходимость интеграла
.
Эти признаки справедливы для положительных подынтегральных функций. Если же f(х) меняет знак на [а, ?), то для
можно ставить следующие вопросы: Сходится ли интеграл
. Если он сходится (что можно в некоторых случаях установить, скажем, при помощи признака сравнения), то говорят, что
сходится абсолютно. Может случиться, что
сходится (т.е. существует
), но
расходится. Тогда говорят, что
сходится условно. Признаки условной сходимости здесь не рассматриваются.
Пример не абсолютно (условно) сходящегося интеграла:
— cx. , но
— расх.
Несобственные интегралы от неограниченных функций (т.е. второго рода)
Предположим, что функция f(х) задана на [а, b] неограничена (например при хb-0, f(х)+?). В таком случае точка b называется особой.
Рассмотрим интеграл
; он существует при любом ??0
называется несобственным интегралом второго рода (от неограниченной функции). Пишут
=
Аналогично определяют несобственные интегралы для функций с особыми точками а или точкой с, а
1.
=
2.
=
.
Если пределы существуют, то говорят, что интегралы сходятся. Примеры
1.
Если предел существует, функцию называют интегрируемой (точнее – особенность называют интегрируемой)
2.
интеграл сходится.
Логарифмическая особенность интегрируема в нуле.
Более общий пример:
сх. при ?
Особенность у подынтегральной функции в точке х=b. Это степенная особенность. Когда (при каких ?) интеграл сходится?
1. Пусть ??1, тогда
предел существует при 1-?0, т.е. ??.
Аналог формулы Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода.
Пусть в
имеем особенность в верхнем пределе: f(х) при хb неограниченна.
Имеем
Сходимость интеграла равносильна существованию предела
.
Естественно обозначить (принять) этот предел, если он существует, за F(b). Тогда
=F(b)-F(a) , что и требовалось.
По аналогии с несобственными интегралами первого рода, для неотрицательных функций f(x), неограниченных при хb-0, имеем следующее условие сходимости
— это ограниченность
при любом ?0,( т.е. существует L0 такое, что
?L для всех ?).
Теоремы сравнения формулируются и доказываются дословно, свойства также формулируются дословно по сравнению с несобственными интегралами первого рода.
Привести примеры:
1.
;
у первого примера 2 особенности – в обоих пределах. В первом х0 (берем (0,1/2] и [1/2,2)
тогда
при х0
но при достаточно большом А,
в интервале (0,1/2]
сходится, следовательно
также сходится.
Абсолютно и неабсолютно сходящиеся интегралы – сказать только определение.
Понятие о главном значении несобственного интеграла – V. P.
Интегралы | несобственные интегралы | признак сравнения
