Определения пределов.

Пускай задана числовая функция

Определения пределов.

с областью определения А

Определения пределов.

и

Определения пределов.

— предельная точка множества А. В этом параграфе будут приведены определения предела

Определения пределов.

функции

Определения пределов.

при

Определения пределов.

, стремящемся к

Определения пределов.

. На интуитивном уровне должно быть ясно, что это указывает, что при приближении

Определения пределов.

к

Определения пределов.

значение функции делается сколь угодно родным к

Определения пределов.

К примеру, нетрудно додуматься, что при

Определения пределов.

, стремящемся к 3 пределом функции

Определения пределов.

должно быть число 9=

Определения пределов.

.

Определение 2.1. Пускай

Определения пределов.

— предельная точка области определения А функции

Определения пределов.

(везде ниже будем это предполагать, не оговаривая очень). Тогда

Определения пределов.

именуется пределом функции

Определения пределов.

при

Определения пределов.

, стремящемся к

Определения пределов.

, (это обозначается так:

Определения пределов.

), в случае если для

Определения пределов.

(любой)

Определения пределов.

-окрестности

Определения пределов.

(существует) такая

Определения пределов.

-окрестность

Определения пределов.

точки

Определения пределов.

что из того, что

Определения пределов.

,

Определения пределов.

направляться, что)

Определения пределов.

.

Замечание 2.1.В случае если в приведённом определении

Определения пределов.

— и -окрестности заменить на окрестности точек

Определения пределов.

и

Определения пределов.

соответственно, то окажется определение, эквивалентное приведённому.

Замечание 2.2.В приведённом определении любая из размеров

Определения пределов.

и

Определения пределов.

возможно как конечной, так и равной +

Определения пределов.

т.е. оно содержит шестнадцать определений предела.

Приведённое определение именуется определением предела на языке окрестностей.

Учитывая то, какими неравенствами описываются

Определения пределов.

— и -окрестности конечных бесконечностей и точек, приведём сейчас все шестнадцать определений пределов на так именуемом языке

Определения пределов.

,

Определения пределов.

эквивалентные определению 2.1. Кое-какие из них проиллюстрируем картинками.

Везде ниже величины

Определения пределов.

и

Определения пределов.

предполагаются конечными.

Определение 2.2.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

-6-

Запись «

Определения пределов.

» свидетельствует, что

Определения пределов.

зависит от

Определения пределов.

. Везде ниже мы для краткости

будем писать легко

Определения пределов.

Определения пределов.

Рис.1

Заштрихованный промежуток на оси OY

Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

, которая описывается неравенством

Определения пределов.

, а заштрихованный промежуток на оси OX

Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

которая описывается неравенством

Определения пределов.

Пример 2.1.

Определения пределов.

.

Для произвольного малого

Определения пределов.

ответом неравенства

Определения пределов.

будет промежуток, обрисовываемый неравенством

Определения пределов.

, либо

Определения пределов.

откуда видно, что в случае если положить

Определения пределов.

, то из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.

.

Определение 2.3.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

Определения пределов.

Рис.2

-7-

Заштрихованный промежуток на оси OY

Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

, которая описывается неравенством

Определения пределов.

, а заштрихованный промежуток на оси OX

Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

которая описывается неравенством

Определения пределов.

Пример 2.2.

Определения пределов.

Вправду, для

Определения пределов.
Определения пределов.

неравенство

Определения пределов.

выполнено, когда

Определения пределов.

, в случае если

Определения пределов.

; в случае если же

Определения пределов.

, то

Определения пределов.

при любом

Определения пределов.

Определение 2.4.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

Иллюстрацией определения 2.4 есть зеркальное отражение рисунка 2 относительно оси OX.

Пример 2.3.Разумеется, что

Определения пределов.

Определение 2.5.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

Определения пределов.

Рис.3

Заштрихованное множество на оси OY

Определения пределов.
Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

, которая описывается неравенством

Определения пределов.
Определения пределов.

, а заштрихованный промежуток на оси OX

Определения пределов.

это окрестность

Определения пределов.

которая описывается неравенством

Определения пределов.

Увидим, что в случае если

Определения пределов.

,то

Определения пределов.
Определения пределов.

R.

-8-

Определение 2.6.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

Определения пределов.

Рис.4

На осях OY и OX заштрихованы соответственно промежутки

Определения пределов.

и (

Определения пределов.

. Это соответственно окрестности

Определения пределов.

и

Определения пределов.

, каковые описываются неравенствами

Определения пределов.

и

Определения пределов.

.

Пример 2.4.

Определения пределов.

Вправду, для

Определения пределов.
Определения пределов.

неравенство

Определения пределов.

, когда

Определения пределов.

.

Определение 2.7.Говорят, что

Определения пределов.

, в случае если для

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

такое, что из того, что

Определения пределов.
Определения пределов.
Определения пределов.

.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector