Пускай задана числовая функция
с областью определения А
и
— предельная точка множества А. В этом параграфе будут приведены определения предела
функции
при
, стремящемся к
. На интуитивном уровне должно быть ясно, что это указывает, что при приближении
к
значение функции делается сколь угодно родным к
К примеру, нетрудно додуматься, что при
, стремящемся к 3 пределом функции
должно быть число 9=
.
Определение 2.1. Пускай
— предельная точка области определения А функции
(везде ниже будем это предполагать, не оговаривая очень). Тогда
именуется пределом функции
при
, стремящемся к
, (это обозначается так:
), в случае если для
(любой)
-окрестности
(существует) такая
-окрестность
точки
что из того, что
,
направляться, что)
.
Замечание 2.1.В случае если в приведённом определении
— и -окрестности заменить на окрестности точек
и
соответственно, то окажется определение, эквивалентное приведённому.
Замечание 2.2.В приведённом определении любая из размеров
и
возможно как конечной, так и равной +
т.е. оно содержит шестнадцать определений предела.
Приведённое определение именуется определением предела на языке окрестностей.
Учитывая то, какими неравенствами описываются
— и -окрестности конечных бесконечностей и точек, приведём сейчас все шестнадцать определений пределов на так именуемом языке
,
эквивалентные определению 2.1. Кое-какие из них проиллюстрируем картинками.
Везде ниже величины
и
предполагаются конечными.
Определение 2.2.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
-6-
Запись «
» свидетельствует, что
зависит от
. Везде ниже мы для краткости
будем писать легко
Рис.1
Заштрихованный промежуток на оси OY
это окрестность
, которая описывается неравенством
, а заштрихованный промежуток на оси OX
это окрестность
которая описывается неравенством
Пример 2.1.
.
Для произвольного малого
ответом неравенства
будет промежуток, обрисовываемый неравенством
, либо
откуда видно, что в случае если положить
, то из того, что
.
Определение 2.3.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
Рис.2
-7-
Заштрихованный промежуток на оси OY
это окрестность
, которая описывается неравенством
, а заштрихованный промежуток на оси OX
это окрестность
которая описывается неравенством
Пример 2.2.
Вправду, для
неравенство
выполнено, когда
, в случае если
; в случае если же
, то
при любом
Определение 2.4.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
Иллюстрацией определения 2.4 есть зеркальное отражение рисунка 2 относительно оси OX.
Пример 2.3.Разумеется, что
Определение 2.5.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
Рис.3
Заштрихованное множество на оси OY
это окрестность
, которая описывается неравенством
, а заштрихованный промежуток на оси OX
это окрестность
которая описывается неравенством
Увидим, что в случае если
,то
R.
-8-
Определение 2.6.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
Рис.4
На осях OY и OX заштрихованы соответственно промежутки
и (
. Это соответственно окрестности
и
, каковые описываются неравенствами
и
.
Пример 2.4.
Вправду, для
неравенство
, когда
.
Определение 2.7.Говорят, что
, в случае если для
такое, что из того, что
.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов