Разглядим определенный интеграл вида
. Легко подметить, что отрезок интегрирования
симметричен относительно нуля.
В случае если функция подынтегральная
есть чётной, то интеграл
возможно вычислить по половине отрезка, а итог – удвоить:
.
Многие додумались, из-за чего так, однако, разглядим конкретный пример с чертежом:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
О чётности функции большое количество говорилось в методическом материале свойства и Графики элементарных функций. Повторим один раз: функция есть чётной, в случае если для неё выполняется равенство
. Как проверить функцию на чётность? Необходимо вместо«икс» подставить
.
В этом случае:
, значит, эта функция есть чётной.
В соответствии с правилу, на симметричном относительно нуля отрезке
отечественный интеграл от чётной функции возможно вычислить следующим образом:
А на данный момент геометрическая интерпретация. Да, мучим несчастную параболу….
Каждая чётная функция, в частности
, симметрична относительно оси
:
Определенный интеграл
численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, соответственно, симметричности её графика относительно оси
, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а итог – удвоить. Однообразные же половинки!
Как раз исходя из этого справедливо воздействие
Подобная история происходит с любой чётной функцией
по симметричному относительно нуля отрезку:
Кое-какие сообщат: «Да для чего это всё необходимо, возможно так как и без того вычислить определенный интеграл». Возможно. Давайте вычислим:
Но комфортно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит неточность в символах. Значительно несложнее и приятнее подставить ноль. Увижу, что это еще был несложной демонстрационный пример, на практике всё не редкость хуже.
Помимо этого, разглядываемый прием довольно часто используется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и без того хватает.
Маленький разминочный пример для независимого ответа:
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
ответ и Полное решение в конце урока.
Обратите внимание, что в то время, когда вам предложено определенный интеграл, то чертеж делать не требуется! Иллюстрация к Примеру 1 дана лишь чтобы было ясно правило. Именно данному моменту посвящена следующая несложная задачка:
Пример 3
1) Вычислить определенный интеграл
.
2) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной осью
и линиями
на промежутке
.
Это две различные задачи!Об этом уже говорилось в статье Как вычислить площадь плоской фигуры? Сперва разберемся с первым пунктом:
1) Подынтегральная функция есть чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, исходя из этого:
Определенный интеграл оказался отрицательным и без того бывает!
2) Сейчас отыщем площадь плоской фигуры. Вот тут без чертежа обойтись тяжело:
В случае если у вас появилось затруднение с наивным косинусом, прошу вас, обратитесь к статье Геометрические преобразования графиков.
На отрезке
график функции расположен ниже оси
, исходя из этого:
Площадь не может быть отрицательной, как раз исходя из этого в формуле вычисления площади додают минус (кроме этого см. пример 3 урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры).
Увидьте, что чётность косинуса никто не отменял, исходя из этого мы снова споловинили отрезок, и удвоили интеграл.
Как выяснить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством
