Определение 1. Функция
в точке
имеет максимум (maximum), в случае если значение
при любых
, малых по полной величине.
Определение 2. Функция
имеет минимум (minimum) при
, в случае если
при любых
, малых по безотносительной величине.
Определение 3. минимумы и Максимумы функции именуется экстремумами.
Теорема 1. (Нужное условие существование экстремума). В случае если дифференцируемая функция
имеет в точке
экстремум, то ее производная обращается в нуль в данной точке т.е.
.
Пускай функция
имеет в точке
максимум тогда
т.е.
.
Составим отношение
Это отношение при
будет
а при
В соответствии с определению производной имеем:
Но в случае если
, оставаясь отрицательным, то
.
В случае если же
, оставаясь хорошим, то
. Аэто быть может, в случае если
.
Определение 4. Значения довода, при которых производная обращается в нуль либо терпит разрыв, именуется критическими точками.
Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума). Пускай функция
постоянна в некоем промежутке, содержащем критическую точку
, и дифференцируема во всех точках этого промежутка (не считая возможно самой точки
). В случае если при переходе слева направо через эту точку производная меняет символ с плюса на минус, то при
функция имеет максимум. В случае если же при переходе через точку
слева направо производная меняет символ с минуса на плюс, то функция имеет в данной точке минимум. Так,
В случае если
то в точке
функция имеет
.
В случае если
то в точке
функция имеет
.
Предположим, что производная меняет собственный символ с плюса на минус. т.е.
при
и
при
.
Используя теорему Лагранжа к разности
, возьмём:
1) Пускай
. Тогда
и следовательно
(1)
2) Пускай
. Тогда
и следовательно
(2)
Соотношения (1) (2) говорят о том, что для всех значениях
хватает близких к
, значения функции меньше чем значения функции в точке
.
Следовательно, в точке
функция имеет
. Подобно доказывается вторая часть теоремы о
.
минимум и Максимум функции — bezbotvy
