Опр. 1. Функция
имеет максимум в точке
в случае если
для всех точек хватает близких к точке
и хороших от нее.
Опр. 2. Функция
имеет минимум в точке
, в случае если
для всех точек
хватает близких к точке
и хороших от нее.
Опр. 3. минимум и Максимум функции именуются Экстремумами функции.
Пускай
. Тогда
1) В случае если
при всех малых приращениях свободных переменных, то функция достигает максимума в
.
2) В случае если
, при всех малых
то функция
достигает минимума в
.
Теорема 1. (Нужные условия экстремума) В случае если функция
достигает экстремума при
, то любая личная производная первого порядка от
либо обращается в нуль при этих значениях довода либо не существует.
Опр. 4. Точки, в которых
(либо не существует) и
(либо не существует) наз. Критическими точками функции
.
Теорема 2. Пускай в некоей области, содержащей точку
функция
имеет постоянные частные производные до третьего порядка включительно и точка
есть критической точкой функции
, т.е.
Тогда, при
1)
имеет максимум, в случае если
и
2)
имеет минимум, в случае если
и
3)
не имеет ни максимума, ни минимума, в случае если
4) В случае если
, то Экстремум возможно и может не быть (требуется дополнительные изучения.
Для упращения обозначим
Тогда условие примет вид
1) В случае если
то функция имеет максимум
2) В случае если
то функция имеет минимум
3) В случае если
нет экстремума.
Пример 1. Изучить на минимум и максимум.
Возьмём критические точки (1,1) и (0,0) Отыщем второе производные
1) Исследуем точку (1,1)
т.о. точка (1,1) – точка минимума.
Отыщем
2) Исследуем точку (0,0)
нет экстремума в данной точке.
Пример 2. Отыскать нормали касательной и уравнения плоскости к
в точке
т.о. уравнение касательной плоскости
Уравнение нормали
Матанализ, 34 урок, Экстремум функции двух переменных
