Определение 1.Пусть функция
определена на множестве
и
.Говорят, что в точке
функция
имеет локальный минимум (локальный максимум)
, если существует такая окрестность
этой точки, что
|
(1) |
| (
), |
при этом точку
называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.
Замечание 1. Если
внутренняя точка множества
, т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо «
» можно писать «
».
Замечание 2.Если в точке
функция имеет или локальный минимум или локальный максимум , то говорят, что в ней она имеет локальный экстремум ,при этом её саму называют точкой локального экстремума.
Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции
на множестве
, т.е. всякая точка
, для которой
|
| (
), |
иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции
на множестве
.
Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума .
Теорема 1(Ферма). Пусть функция
определена на множестве
,
, при этом
— внутренняя точка множества
и функция
дифференцируема в этой точке .Тогда, если
– точка локального экстремума этой функции, то
. |
(2) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать , что
— точка локального минимума .Тогда
такое, что
(
— внутренняя точка
) и
.
Поэтому
  
|
(3) |
 
. |
(4) |
Теорема Ферма, теорема Вейерштрасса, теорема Ролля — Производная — Математический анализ
