Рассмотрим эллиптический параболоид, сделаем сечение вертикальной плоскостью, которая параллельна координатной плоскости. Для самой поверхности точка М ничем не характерна, рядом с ней есть и точки меньшей, и точки большей высоты. Но вот для сечения это — минимум.
То есть, если сузить область определения с плоской фигуры до одномерной линии, то от поверхности останется сечение, и для сечение, уже как просто для кривой, могут быть экстремумы, которых не было на самой поверхности. такие экстремумы называются «условными», потому что для сужения области определения применяется какое-то условие. Неявно задать кривую можно с помощью какого-то условия типа
. Например, показанное на чертеже сечение получается, если фиксировать x, т.е. здесь условие вида
, то есть
. Итак, определение.
Определение. Пусть задана функция
и некоторое неявное уравнение кривой
в плоскости
. Точка
называется точкой условного максимума, если
для любой точки
принадлежащей
.
Отличие от обычного максимума: для максимума в центре окрестности должно быть значение больше, чем в любой точке окрестности, а для условного максимума больше, чем во всех точках пересечения этой окрестности и кривой
. (В других точках из окрестности, которые не принадлежат кривой, может быть не больше, а меньше).
Определение условного минимума вводится аналогично, лишь в неравенстве изменён знак:
.
Эти понятия нужны для того, чтобы искать наибольшие и наименьшие значения в плоских областях. Ведь граница плоской области это линия, а не две точки a,b как было при поиске наибольшего значения на отрезке.
На наклонной плоскости, то есть для поверхностей типа
, вообще нет точек экстремума, т.к. рядом с любой точкой есть другие точки, как выше, так и ниже. Градиент этой функции равен
и он, очевидно, не равен (0,0). Но если сузить область определения, провести параболу под этой наклонной плоскостью, то на плоскости будет кривая, у которой уже есть точка минимальной высоты!
Пример. Дана функция
. Найти условный экстремум этой функции на параболе
.
Решение. Условие имеет вид
.
Выразим все имеющиеся в функции
через
.
. Обычная производная
, минимум в точке 0. Тогда
условный минимум. Чертёж:
Пример.Найти отношение сторон прямоугольника, такое, что при фиксированном периметре получилась бы максимальная площадь.
Решение.Периметр
. Площадь выражается функцией
. Если периметр фиксирован, например приравняем к константе 2С, то
, это условие позволит нам одну переменную выразить через другую.
, т.е.
. Подставим в функцию
, получим
. Функция стала зависеть только от одной переменной, и для неё уже можно искать экстремумы обычным способом.
, тогда
.
. Это именно максимум т.к.
.
. Тогда отношение
.
Ответ.
. То есть, среди прямоугольников равного периметра, наибольшей площадью обладает квадрат.
Замечание. Представим, что квадрат размера 1 на 1, периметр равен 4. Так вот, при увеличении одной стороны до 2 вторая уменьшается до 0 и соответственно, площадь до 0. Для прямоугольника со сторонами 2 и 0 периметр формально тоже равен 4.
Условные экстремумы. Тема
