Пусть дана прямая L и точка B. Расстояние от точки B на прямую L называется длина перпендикуляра, опущенного из точки B до прямой L. Если прямая L задана уравнением
L: au+bv+c=0, то расстояние её от B(x0,y0) определяется по формуле: d=
Очевидно, что для любой точки A(x,y), лежащей на L, справедливо неравенство
, которое обращается в равенство в том и только том случае, когда точка A является точкой пересечения прямой L с прямой, перпендикулярной L и проходящей через точку В.
Пусть заданы точка B и прямые L1 , L2 , …, Ln , где
, пронумерованы в порядке следования точек пересечения этих прямых с перпендикуляром BK опущенным из точки B на прямую Ln (от точки B). Эти прямые заданы параметрически u=xi; v=aixi+bi, i=1, 2, …, n соответственно и Ai(xi, aixi+bi)- произвольная точка прямой Li. Тогда уравнение
| (1) |
где d-расстояние от точки B до прямой Ln , является уравнением с n неизвестными, его левая часть-это длина ломаной BA1A2…An.
Поэтому левая часть уравнения не меньше его правой части; равенство имеет место лишь тогда, когда точки Ai является точкой пересечения прямых Li с отрезком BK. Уравнение (1) равносильно системе n-1 уравнений:
Каждое уравнение является уравнением с двумя неизвестными. Уравнение такого вида легче решать геометрически.
Пример 1. Решите уравнение
.
Геометрический метод. Запишем уравнение в виде (1).
Рассмотрим на координатной плоскости OUV прямые L1 и L2, заданные соответственно уравнениями u=y, v=y и u=x, v=0, точку
лежащую на L1, точку
лежащую на L2 и точку
.
d=3.
Тогда уравнение можно записать как
,
где d –расстояние от точки B до прямой L2.
Ясно, что левая часть уравнения не меньше его правой части, и равенство имеет место тогда и только тогда, когда точка A2 совпадает с точкой K (K-основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую L2) , точка A1 совпадает с точкой A’1 (с точкой пересечения прямой L2 с отрезком BK). Отсюда следует, что x=y=2.
Пример2. При любом натуральном
решите уравнение
.
Геометрический метод: На координатной плоскости OUV рассмотрим точку
прямые L1,L2,…, Ln-1, заданные соответственно уравнениями v=u/k, где k=1,2,…,n-1, прямую Ln, заданную уравнением v=0 и точку
, где k=1,2,…,n-1, лежащую на прямой Lk, а такжеточку
— на прямой Ln .
Видеоурок
