Задача 1. Отыскать основную часть для
в точке
т.е. вида
.
Ответ.Во-первых, видно, что это вправду бесконечно-малая в точке 1, так как
. Запишем в знаменателе
и приравняем предел к единице, поскольку эти величины должны быть эквивалентны. После этого ведём преобразования и упрощаем выражение под знаком предела, как при простом вычислении предела. В то время, когда оно упростится так, что все возможно будет собрать в отдельный множитель, а все остальные, не стремящиеся к нулю, раздельно, тогда легко определится k и С. Так как мы ищем эквивалентную, то предел изначально приравняем к 1.
.
Множители (x-1) всецело сократятся только при, в то время, когда k=1, в противном случае предел оказался бы 0 либо
. Сейчас, в случае если уже как мы знаем, что k=1, и все множители типа (x-1) сократились, вычислим С.
,
, С = 3. Тогда
.
Ответ.
. График
и
:
На графике зелёным изображена основная часть
, а коричневым
. Практически мы нашли среди степенных функций вида
наилучшую, соответствующую
. Кстати, увидим, в случае если порядок малости в данной точке равен 1, другими словами k=1, то график пересекает ось Ох под каким-то углом, причём основная часть это и имеется уравнение касательной. В случае если же касательная горизонтальна, то бесконечно малая имеет не 1 порядок, а более большой.
Задача 2. Выделить основную часть бесконечно-малой
в точке
.
Ответ.Запишем
.
Заменяем на синус на эквивалентную бесконечно-малую, для этого делим и домножаем, дабы избавиться от синуса в этом выражении, т.е. дабы остались лишь степенные функции.
предел первого множителя = 1, остаётся
.
В отдельную дробь вынесли множители, которые содержат
. Тогда видно, что
, в противном случае множитель
остался бы либо в числителе, либо знаменателе, и предел 0 либо
, а должен быть равен 1.
При
остаётся
.
Ответ.
. Практически, это оказалось уравнение касательной
.
В дополнение, чертёж к данной задаче.
продемонстрировано красным цветом, а основная часть
зелёным.
Задача 3. Выделить основную часть бесконечно-малой:
в точке
.
Ответ.Так как точка 0, то вместо множителя
тут легко
. Поделим и приравняем предел к 1,
.
Преобразуем так, как в большинстве случаев при вычислении предела, в то время, когда в не было малоизвестных параметров. Заменим на эквивалентную бесонечно-малую.
=
.
Сейчас домножим и поделим на сопряжённое выражение.
разумеется, что данный lim предположительно составит константе только при
, так как в случае если
сократится не всецело, то будет 0 либо
. При
остаётся
,
.
Ответ.
.
Чертёж к данной задаче. Красным продемонстрирована исходная функция, зелёным основная часть.
Так, отыскана «самая похожая» на
в окрестности нуля функция (в классе степенных функций). Видно, что в окрестности 0 их графики весьма близки, вот в чём состоит геометрический суть основной части бесконечно-малой функции.
Сравнение бесконечно малых функций
