Пример 2
Отыскать неизвестный интеграл.
Подынтегральная функция является произведением логарифма на многочлен.
Решаем.
Я еще один раз детально распишу порядок применения правила, в будущем примеры будут оформляться более коротко, и, в случае если у Вас появятся трудности в независимом ответе, необходимо возвратиться обратно к первым двум примерам урока.
Как уже говорилось, за
нужно обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За
обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Записываем в столбик:
Сперва находим дифференциал
:
Тут использовано правило дифференцирования сложной функции
. Не просто так, на самом первом уроке темы Неизвестный интеграл. Примеры ответов я заострял внимание на том, что чтобы освоить интегралы, нужно «набить руку» на производных. С производными нужно будет столкнуться еще неоднократно.
Сейчас находим функцию
, для этого интегрируем правую часть нижнего равенства
:
Для интегрирования мы применили несложную табличную формулу
Сейчас всё готово для применения формулы
. Открываем «звёздочкой» и «конструируем» ответ в соответствии с правой частью
:
Под интегралом у нас опять многочлен на логарифм! Исходя из этого ответ снова прерывается и правило интегрирования по частям используется второй раз. Не забываем, что за
в похожих обстановках постоянно обозначается логарифм.
Прекрасно бы, в случае если к данному моменту производные и простейшие интегралы Вы умели обнаружить устно.
(1) Не путаемся в символах! Частенько тут теряют минус, кроме этого обратите внимание, что минус относится ко всей скобке
, и эти скобки необходимо корректно раскрыть.
(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.
(3) Берем последний интеграл.
(4) «Причесываем» ответ.
Необходимость два раза (в противном случае и трижды) использовать правило интегрирования по частям появляется не так уж и редко.
А на данный момент пара примеров для независимого ответа:
Пример 3
Отыскать неизвестный интеграл.
Данный пример решается способом замены переменной (либо подведением под символ дифференциала)! А почему бы и нет – имеете возможность попытаться забрать его по частям, окажется забавная вещь.
Пример 4
Отыскать неизвестный интеграл.
А вот данный интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).
Это примеры для независимого ответа, решения и ответы в конце урока.
Помой-му в примерах 3,4 подынтегральные функции похожи, а вот способы ответа – различные! В этом-то и состоит главная трудность освоения интегралов – в случае если неправильно подобрать способ ответа интеграла, то копаться с ним возможно часами, как с самой настоящей головоломкой. Исходя из этого чем больше вы прорешаете разных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут экзамен и зачёт. Помимо этого, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без производных решения и опыта интегралов делать в том месте нечего.
По логарифмам, пожалуй, даже больше чем нужно. На закуску могу еще отыскать в памяти, что студенты-технари логарифмами именуют женскую грудь =). Кстати, полезно знать назубок графики главных элементарных функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочленов третьей, четвертой степени и т.д. Нет, само собой разумеется, презерватив на глобус
я натягивать не буду, но сейчас вы очень многое запомните из раздела функции и Графики =).
Формула интегрирования по частям. Неизвестный интеграл #89
