Прерываем ответ и проводим замену
В знаменателе у нас всё прекрасно, всё зависит лишь от
, сейчас осталось узнать, во что превратится
.
Для этого находим дифференциал
:
Либо, в случае если меньше:
Из взятого равенства по правилу пропорции высказываем необходимое нам выражение:
Итак:
Сейчас всё подынтегральное выражение у нас зависит лишь от
и возможно продолжать ответ
Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в этом случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.
Я не просто так так детально расписал данный пример, это сделано в целях закрепления и повторения материалов урока Способ замены переменной в неизвестном интеграле.
А на данный момент два примера для независимого ответа:
Пример 12
Отыскать неизвестный интеграл.
Пример 13
Отыскать неизвестный интеграл.
ответы и Полные решения в конце урока.
Пример 14
Отыскать неизвестный интеграл.
Тут снова в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и появляется задача – что же обозначать за
, синус либо косинус?
Возможно постараться совершить замену методом проб и ошибок, и, в случае если ничего не окажется, то обозначить за
другую функцию, но имеется:
Неспециализированный ориентир: за
необходимо обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».
Мы видим, что в данном примере студент косинус «мучается» от степени, а синус – вольно так сидит, сам по себе.
Исходя из этого совершим замену:
В случае если у кого остались проблемы с методом замены переменной и нахождением дифференциала
, то направляться возвратиться к уроку Способ замены переменной в неизвестном интеграле.
Пример 15
Отыскать неизвестный интеграл.
Разбираем подынтегральную функцию, что необходимо обозначить за
?
Вспоминаем отечественные ориентиры:
1) Функция, вероятнее, находится в знаменателе;
2) Функция находится в «неудобном положении».
Кстати, эти ориентиры честны не только для тригонометрических функций.
Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, исходя из этого напрашивается замена
. В принципе, замену возможно уже проводить, но сперва хорошо было бы разобраться, а что делать с
? Во-первых, «отщипываем» один косинус:
мы резервируем под отечественный «будущий» дифференциал
А
высказываем через синус посредством главного тригонометрического тождества:
Вот сейчас замена:
Готово.
Математика | Как изучить функции