Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений данных от этих линий
и
, меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле способа мельчайших квадратов аппроксимирует данные.
, то прямая y = 0.165x+2.184 лучше приближает данные.
Графическая иллюстрация способа мельчайших квадратов (мнк).
На графиках все замечательно видно. Красная линия – это отысканная прямая y = 0.165x+2.184, светло синий линия – это
, розовые точки – это данные.
Для чего это необходимо, к чему все эти аппроксимации?
Я лично использую для ответа задач сглаживания данных, экстраполяции и задач интерполяции (в исходном примере имели возможность бы попросить отыскать занчение замечаемой величины y при x=3 либо при x=6 по способу МНК). Но подробнее поболтаем об этом позднее в другом разделе сайта.
Подтверждение.
Дабы при отысканных а и b функция принимала мельчайшее значение, нужно дабы в данной точке матрица квадратичной формы дифференциала второго порядка для функции
была положительно определенной. Продемонстрируем это.
Дифференциал второго порядка имеет форму:
Другими словами
Следовательно, матрица квадратичной формы имеет форму
причем значения элементов не зависят от а и b .
Продемонстрируем, что матрица положительно определенная. Для этого необходимо, дабы угловые миноры были хорошими.
Угловой минор первого порядка
. Неравенство строгое, поскольку точки
несовпадающие. В будущем это будем подразумевать.
Угловой минор второго порядка
Докажем, что
способом математической индукции.
1. Удостоверимся в надежности справедливость неравенства для любого значения n, к примеру для n=2.
Взяли верное неравенство для любых несовпадающих значений
и
.
2. Предполагаем, что неравенство верное для n.
— верное.
3. Докажем, что неравенство верное для n+1.
Другими словами, необходимо доказать, что
исходя из предположения что
— верное.
Отправились.
Выражение в фигурных скобках положительно по предположению пункта 2), а остальные слагаемые хороши, поскольку являются квадратами чисел. Этим подтверждение завершено.
Вывод: определённые значения а и b соответствуют мельчайшему значению функции
, следовательно, являются искомыми параметрами для способа мельчайших квадратов.
11 2 Вывод уравнений МНК
