ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Существует множество особых приемов, разрешающих упрощать проведение вычислений с амплитудами возможности. Совокупность этих приемов образовывает математический аппарат квантовой механики. Данный аппарат основан на применении последовательности математических понятий, верное использование которых требует предварительного анализа их смысла и содержания.
ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ
Центральное место в математическом аппарате КМ занимает понятие вектор состояния. Для его анализа используем мысленный опыт. Приготовим устройство, включающий детектор и источник, между которыми расположен экран (произвольной формы) с множеством микроскопических отверстий.
Интересующее нас событие S D может осуществиться несколькими другими методами. Любой из них является последовательностью двух элементарных событий. Правило расчета глобальной амплитуды в таковой ситуации известно:
АSD = a D | S n = a D | 1n ? a 1 | S n + a D | 2 n ? a 2 | S n + . . . . =
= a a D | i n ? a i| S n = a ( Di ? Si )
Из данной формулы видно, что амплитуда АSD получается в следствии комбинирования двух групп комплексных чисел:
- числа типа Si= a i | S n, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к источнику, в частности является амплитудой попадания частицы из источника S в данное отверстие с номером i;
- числа типа Di = a D | i n, каждое из которых характеризует одно из отверстий экрана по отношению к детектору, в частности: является амплитудой попадания частицы из отверстия с номером iв детекторD.
Комплекты чисел {Si} и {Di} возможно разглядывать только как нужные компоненты для вычисления глобальной амплитуды, но возможно приписать им определенный суть и самим по себе, потому, что эти два комплекта в определенном отношении свободны друг от друга.
В случае если в рассмотренной выше экспериментальной установке переместить источник в другую точку пространства то изменятся все расстояния от источника до отверстий экрана, а, следовательно, изменятся и все амплитуды типа Si = a i | S n. Наряду с этим, но, все амплитуды второго типа Di = a D | i n, останутся теми же самыми, потому, что положение детектора относительно экрана не изменилось. Подобную процедуру возможно выполнить и с детектором, покинув источник в прошлом положении. Наряду с этим все числа типаDi = a D | семь дней n изменятся, но числа Si = a i | S n, которые связаны с источником, останутся неизменными.
Из этого следует ответственный вывод:
- числа Si = a i | S nхарактеризуют состояние частиц, приготавливаемых источником — начальное состояние | Sn,
- числа Di = a D | i n характеризуют состояние частиц в месте размещения детектора — конечное состояние a D | .
Выделим, что начальное и конечное состояния частиц характеризуются не в универсальном смысле, а только некоторым конкретным методом — с позиций прибора, расположенного между детектором и источником (в этом случае — экран с отверстиями). Достаточно разумеется, что при применении другого прибора мы возьмём подобное описание обеих состояний (начального и конечного), но комплекты чисел {Si} и {Di}, будут вторыми.
Такое описание состояния микрообъектов при помощи комплекта чисел-амплитуд и именуется вектором состояния. Происхождение для того чтобы заглавия обусловлено аналогией между рассмотренными выше комплектами чисел-амплитуд и простыми математическими векторами. Разглядим для примера вектор на плоскости. Для его описания комфортно применять совокупность координатных осей, к примеру, декартовых:
Любая декартова ось порождается некоторым особым базовым вектором, имеющим заданное направление и единичную длину. Для анализа произвольного вектора R необходимо сперва спроектировать его на координатные оси и отыскать две проекции: Rxи Ry, сумма которых и дает вектор R:
R = Rx + Ry
Второй этап анализа содержится в том, что проекции вектора сравнивают по длине с соответствующими базовыми векторами, протяженность которых принимается за единицу. Это ведет к представлению вектора в виде линейной комбинации базовых векторов:
R = Rx + Ry=x ?i +y ?j
Пользуясь одним и тем же комплектом базовых векторов (совокупностью координат), мы можем проанализировать подобным образом любой вектор. Наряду с этим все описания будут смотреться однотипно, отличаясь лишь комплектом чисел (x, y), каковые именуются координатами вектора в выбранном базисе (i,j). Исходя из этого в рамках заданной координатной совокупности не только любой вектор возможно охарактеризовать комплектом чисел-координат: R = (x,y), и напротив, любой таковой комплект чисел возможно разглядывать как вектор(x,y) = R. Из этого и вытекает интерпретация комплектов чисел-амплитуд как векторов:
• вектор начального состояния |Sn = (S1, S2, … )
• вектор конечного состояния aD|= (D1, D2, … )
Рассмотренная аналогия между векторами состояния и математическими векторами простирается весьма на большом растоянии. Так, для математических векторов выяснена особая операция — скалярное умножение. Она выполняется следующим образом. Один из векторов-сомножителей записывают в виде вектора-строчка, а второй — в виде вектора-столбца, после этого попарно перемножают координаты с однообразными номерами, а полученные произведения складывают:
Результатом скалярного умножения двух векторов есть единственное число Z (скаляр), именуемое скалярным произведением векторов А и В. Легко подметить полное сходство между конструкцией скалярного произведения и схемой вычисления амплитуды через векторы начального и конечного состояний:
АS D = a D | S n = a D | 1n ? a 1 | S n + a D | 2 n ? a 2 | S n + . . . . =
= a a D | i n ? a i| S n = a ( Di ? Si )
Из этого можно заключить:
глобальная амплитуда некоего события (квантового перехода) неизменно возможно представлена в виде скалярного произведения двух векторов, изображающих начальное и конечное состояния.
Знак, введенный выше для обозначения амплитуды a D | S n возможно разглядывать как произведение двух знаков, изображающих отдельные векторы-сомножители:a D|Sn= a D | ? | S n.Наряду с этим разумеется, что первый сомножитель эквивалентен вектору-строчке, а второй — вектору-столбцу. Существует общепринятое соглашение:
• векторы начальных состояний постоянно следует разглядывать как векторы-столбцы и обозначать их правой угловой скобкой | S n (кет-вектор);
• векторы конечных состояний постоянно следует разглядывать как векторы-строчка и обозначать их левой угловой скобкой a D |(бра-вектор);
• cкалярное произведение двух векторов состояния неизменно должно смотреться как полная угловая скобка a D | S n (бра-кет — от британского bracket — скобка).
Так, возможно сделать пара промежуточных выводов:
1) Любое квантово-механическое состояние возможно изобразить посредством математического объекта — вектора состояния.
2) Любой КМ-вектор состояния возможно проанализировать особенным методом — представить в виде линейной комбинации некоторых базовых векторов, и обрисовать комплектом чисел-координат.
3) Любое КМ-событие возможно представить в виде перехода из одного состояния в второе, причем амплитуда этого события возможно вычислена как скалярное произведение соответствующих векторов состояния.
координаты и Базисные состояния
Координатное представление любого вектора (R) сводится к его изображению при помощи линейной комбинации (ЛК) базовых векторов (e1, e2, … , en):
R= R1 ? e1 + R2 ? e2 + … + Rn ? en .
Для данной конструкции употребляются кроме этого заглавия суперпозиция базовых векторов и разложение по базису.
Координаты вектора (R1, R2, … , Rn) в заданном базисе показывают количественный вклад каждого базового вектора в суммарный вектор. Потому, что наряду с этим свойства базовых векторов предполагаются совершенно верно известными, знание координат разрешает предвещать свойства вектора R без какого-либо особого изучения этих особенностей.
При координатном представлении вектора состояния употребляется совершенно верно такой же прием:
• любой кет-вектор возможно представлен в виде ЛК базовых кет-векторов
| S n = | 1 n ? S1 + | 2 n ? S2 + . . . = a | i n ? Si
• любой бра-вектор возможно представлен в виде ЛК базовых бра-векторов
a D | = D1 ? a 1 | + D2 ? a 2 | + . . . = a Di ? a i |
В качестве координат векторов состояния выступают амплитуды некоторых событий, в частности:
• каждое число типа Si = a i | S n является амплитудой перехода частицы из начального состояния | S n в базовое состояние прибора-анализатора с номером i;
• каждое число типа Di = a D | i n является амплитудой перехода частицы из базового состояния прибора-анализатора с номером i в конечное состояние a D |.
При таком подходе бра- и кет-векторы, и их координаты кажутся принципиально разными по смыслу, но эта отличие не полна. Одно да и то же состояние R можно рассматривать и как начальное — | R n, и как конечное — a R |. Точка зрения на состояние зависит от метода его анализа. К примеру, возможно представить себе две экспериментальные обстановки, устроенные одинаково в пространственном отношении, но отличающиеся направлением перемещения частиц. Состояния, обозначаемые буквами Sи D, выступают тут и как начальные, и как конечные.
Как разложить вектор по базису — bezbotvy
