Обратная матрица
Матрица
именуется обратной к матрице
в случае если AB = BA = Е; наряду с этим пишут
Матрица А имеет обратную лишь в том случае, если она невырожденная, другими словами в случае если
. В случае если
– невырожденная матрица, то
где
алгебраические дополнения элементов
Совокупности линейных алгебраических уравнений
Совокупностью линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) именуется совокупность уравнений вида
Совокупность именуется однородной, в случае если свободные члены равны нулю:
Однородная совокупность постоянно является совместной — она имеет ответ
(быть может, не единственное).
Матрицы
именуются матрицей совокупности и расширенной матрицей совокупности соответственно; столбцы
именуются столбцом малоизвестных и столбцом свободных участников соответственно. С учетом этих обозначений совокупность возможно записать в матричной форме
Ответ СЛАУ посредством обратной матрицы (матричный метод)
Совокупность совместна при
и имеет единственное ответ – столбец
Задачи
Разглядим в аудитории обычные примеры, для ответа которых употребляются приведенные определения, понятия и теоремы.
1.Отыскать обратную матрицу к матрице А и сделать диагностику, в случае если:
1)
;
Ответ. Вычислим
.
Матрица A невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу.
Отыщем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:
Тогда
Проверка
.
2)
.
Ответ. 1)
; 2)
.
2.Решить СЛАУ матричным методом:
1)
Ответ. Пускай
,
,
.
Тогда совокупность возможно записать в матричном виде
. Умножая последнее
равенство на
слева, возьмём:
,
.
Отыщем detA:
. Следовательно, существует обратная
матрица
:
. Нужно сделать диагностику:
.
Из этого
.
Имеем
, т.е.
.
2)
Ответ. 1)
; 2)
.
3.Даны
,
,
. Решить матричные уравнения:
1)
; 2)
; 3)
.
Ответ. 1)
. Умножим слева на
:
,
.
Отыщем
,
.
Матрица A невырожденная, т.е. имеет обратную матрицу.
.
.
2)
. Умножим справа на
:
,
.
.
3)
.
.
;
.
Ответ. 1)
; 2)
; 3) .
§30 Совокупности линейных алгебраических уравнений
