Свойства обратных матриц

1)

Свойства обратных матриц

2)

Свойства обратных матриц

Вычисление обратной матрицы.

1. Обратную матрицу можно вычислить следующим образом:

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

.

Здесь верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования матрицы – перемену местами строк и столбцов данной матрицы.

2. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

Свойства обратных матриц

К исходной матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка. Совершаются элементарные преобразования с целью получить на месте исходной матрицы единичную. Матрица, которая получится справа от нее и будет обратной к матрице А.

Пример

Свойства обратных матриц

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

.

Лекция 3 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(Тема 1.2.)

План лекции

Однородные и неоднородные системы уравнений.

Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Критерий совместности системы n-линейных уравнений с n-неизвестными (Теорема Кронекера-Капелли).

Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

Рассмотрим систему:

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

(1)

Решением системы называется любая совокупность значений неизвестных

Свойства обратных матриц

;

Свойства обратных матриц

; … ;

Свойства обратных матриц

, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Матрица A=

Свойства обратных матриц

-матрица коэффициентов системы или матрица системы.

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

-столбец свободных членов.

A*=

Свойства обратных матриц

-расширенная матрица системы.

Задача – найти решение системы.

Система, имеющая решение – совместна.

Система, не имеющая решения – несовместна.

Правило Крамера. Если определитель матрицы системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля (

Свойства обратных матриц

), то система имеет единственное решение, определяемое формулами:

(

Свойства обратных матриц

) или

Свойства обратных матриц

.

Здесь

Свойства обратных матриц

— определитель, получаемый из

Свойства обратных матриц

путем замены i- го столбца на столбец свободных членов.

Для доказательства умножим первое уравнение системы (1) на А11, второе — на А21 и т.д. Последнее – на

Свойства обратных матриц

, затем сложим их все. Получим:

Свойства обратных матриц
Свойства обратных матриц

1 (a11 A11 + a21 A21 + … + an1 An1 ) +

Свойства обратных матриц

+

Свойства обратных матриц

2 (a12 A21 + a22 A21 + … + an2 An1) + …+

+

Свойства обратных матриц

n (a1n A11 + a2n A21 + … + ann An1) =

=b1 A11 + b2 A21 + …+ bn An1.

Обратные матрицы. Тема


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: