1)
2)
Вычисление обратной матрицы.
1. Обратную матрицу можно вычислить следующим образом:
.
Здесь верхний индекс Т обозначает операцию транспонирования матрицы – перемену местами строк и столбцов данной матрицы.
2. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.
К исходной матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка. Совершаются элементарные преобразования с целью получить на месте исходной матрицы единичную. Матрица, которая получится справа от нее и будет обратной к матрице А.
Пример
.
Лекция 3 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
(Тема 1.2.)
План лекции
Однородные и неоднородные системы уравнений.
Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.
Критерий совместности системы n-линейных уравнений с n-неизвестными (Теорема Кронекера-Капелли).
Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, Гаусса и обратной матрицы.
Рассмотрим систему:
(1)
Решением системы называется любая совокупность значений неизвестных
;
; … ;
, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.
Матрица A=
-матрица коэффициентов системы или матрица системы.
-столбец свободных членов.
A*=
-расширенная матрица системы.
Задача – найти решение системы.
Система, имеющая решение – совместна.
Система, не имеющая решения – несовместна.
Правило Крамера. Если определитель матрицы системы n уравнений с n неизвестными отличен от нуля (
), то система имеет единственное решение, определяемое формулами:
(
) или
.
Здесь
— определитель, получаемый из
путем замены i- го столбца на столбец свободных членов.
Для доказательства умножим первое уравнение системы (1) на А11, второе — на А21 и т.д. Последнее – на
, затем сложим их все. Получим:
1 (a11 A11 + a21 A21 + … + an1 An1 ) +
+
2 (a12 A21 + a22 A21 + … + an2 An1) + …+
+
n (a1n A11 + a2n A21 + … + ann An1) =
=b1 A11 + b2 A21 + …+ bn An1.
Обратные матрицы. Тема
