Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.
Рассмотрим точку
ненагруженного тела и ее новое положение
после приложения нагрузки. Вектор
называется вектором перемещения точки
(рис.3.2).
Рис.3.2. Вектор перемещения точки
Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования — такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела — такие перемещения изучает теория упругости.
Обозначим проекции вектора перемещения точки
на координатные оси
через
соответственно. Они равны разности соответствующих координат точек
и
:
и являются функциями координат:
Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами
вырезанный из упругого тела около произвольной точки
, вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.
На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда:
и
длина ребра
равна
а ребра
—
Рис.3.3. Линейные и угловые деформации
После деформации точки
принимают положение
При этом точка
получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны
и
Точка
отстоящая от точки
на бесконечно малом расстоянии
получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки
на бесконечно малую величину за счет изменения координаты
|
Составляющие перемещения точки
будут отличаться от составляющих перемещения точки
на бесконечно малую величину за счет изменения координаты
|
Длина проекции ребра
на ось
после деформации:
|
(3.5) |
Проекция абсолютного удлинения ребра
на ось
|
Относительное удлинение вдоль оси
|
(3.6) |
называется линейной деформацией по направлению оси
.
Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей
и
| (3.7) |
Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис.3.3). Тангенс угла поворота ребра
в плоскости
|
Вследствие малости деформаций
а линейной деформацией
можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда
|
Аналогичным образом можно определить угол поворота ребра
в той же плоскости:
|
Искажение прямого угла
называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер
и
:
|
(3.8) |
Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:
|
(3.9) |
Формулы (3.6)-(3.9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:
|
(3.10) |
В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки
Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным — укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным — в противном случае.
Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций
|
(3.11) |
Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.
