Рассмотрим плоскости
и
, заданные своими общими уравнениями:
;
.
и
r – ранг основной матрицы;
R – ранг расширенной матрицы.
Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей:
1) плоскости параллельны, но не совпадают (r=1, R=2);
2) плоскости совпадают (r=1,R=1);
3) плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по прямой (r=2).
Частым случаем является перпендикулярность двух плоскостей.
Для случаев 1) и 2) общим является то, что векторы
и
коллинеарны.
Угол между плоскостями – это один из смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Углом между двумя плоскостями
и
называется угол
между нормальными векторами этих плоскостей .
Нормальный вектор
к данной плоскости может иметь любое из двух противоположных друг другу направлений, поэтому угол между плоскостями определен неоднозначно : для угла
возможны два варианта записи:
и
. Учитывая, что
можно косинус угла между плоскостями находить по формуле:
, где
и
любые два вектора, перпендикулярные плоскостям
и
или
Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскости
и
параллельны, то их нормальные вектора коллинеарные. Признаком колленеарности двух векторов является пропорциональность их координат.
Условие перпендикулярности двух плоскостей. Плоскости
и
перпендикулярны, следовательно, их нормальные вектора перпендикулярны
^
. Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана точка
и плоскость
:
. Расстояние
между ними, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки
на плоскость
:
определяется аналогично расстоянию от точки до прямой.
GetAClass — ЕГЭ по математике — Угол между плоскостями (Часть 1)
