Рассмотрим количественные соотношения, которые получаются при описании различных соударениях двух тел.
Обычно рассматривают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно упругий удар – это удар, при котором сохраняется полная механическая энергия.
Нахождение скоростей даже двух материальных точек после абсолютно упругого удара в лабораторной системе отсчета в общем виде – довольно громоздкая задача. Однако в системе центра масс эта задача имеет простое решение.
Допустим, в лабораторной системе импульс первого шарика (материальной точки) равен
, а второго шарика –
. Тогда скорость Vc центра масс системы двух шариков равна (18.6):
.
Переходя в систему центра масс и используя преобразования Галилея (8.3), имеем:
– скорость первого шарика в системе центра масс равна:
.
– скорость второго шарика в системе центра масс равна:
.
Тогда импульс
первого шарика в системе центра масс равен:
;
Импульс
второго шарика в системе центра масс равен:
.
Как и следовало ожидать, сумма импульсов
двух шариков в системе центра масс равна нулю.
После удара сумма импульсов
в системе центра масс после удара также должна быть равной нулю, так как мы предполагаем систему шариков замкнутой. Это значит, что импульсы шариков после удара будут равны по модулю
и направлены в противоположные стороны. Скорости шариков после удара изменят свое направление в системе центра масс на некоторый угол, который определяется начальными условиями (центральный или косой удары). Модули же импульсов останутся неизменными:
. Покажем это, используя закон сохранения энергии. Кинетические энергии шариков до удара равны:
.
Вследствие выполнения закона сохранения механической энергии при абсолютно упругом ударе, суммарная кинетическая энергия шариков после удара должна остаться прежней:
и
.
Таким образом, в системе центра масс абсолютно упругий удар двух шариков приводит к тому, что импульсы шариков по модулю не изменяются, меняется только направление их движения, определяемое начальными условиями.
Теперь, чтобы определить конечные импульсы шариков в лабораторной системе, необходимо применить опять преобразования Галилея (8.3).
. (*)
. (**)
Здесь вектор е1к– единичный вектор, проведенный по направлению конечного импульса первого шарика
в системе центра масс.
Эти выражения позволяют довольно легко ответить на вопрос, какая энергия в среднем передается при хаотических соударениях шариков различных масс. Полученный результат нам пригодится при рассмотрении хаотического движения атомов и молекул газа, и позволит уяснить физический смысл температуры газа.
В силу хаотичности движения шариков, их скорости должны иметь беспорядочные направления. Отсюда следует, что средние значения скалярных произведений av1?v2n, av1?е1кn и av2?е1кn должны быть равны нулю. Тогда, используя выражение (*), получим, что среднее приращение энергии первого шарика aDЕ1n в результате многочисленных столкновений будет равно,
,
где р1к и р2 – конечный и начальный импульсы шариков;
– средние начальная и конечная их кинетические энергии.
Отсюда следует, что если средняя энергия второго шарика больше чем средняя энергия первого шарика, то в результате хаотических столкновений первый шарик в среднем будет получать энергию от второго шарика. Процесс передачи энергии будет продолжаться до тех пор, пока средние энергии шариков не уравняются. Этот важный результат показывает, что средние энергии атомов и молекул в равновесном состоянии будут равны, даже если массы атомов различны.
Рассмотрим с помощью полученных результатов частный случай – центральный удар шаров. Это означает, что векторы начальных скоростей обоих шаров лежат на прямой, соединяющей их центры. Она называется линией центров.
Рассмотрим этот удар в системе центра масс.
Очевидно, что и скорость центра масс
и конечные скорости шаров
после удара лежат на этой же прямой. Это означает, что в системе центра масс и начальные (
)и конечные(
) векторы импульсов должны также лежать на линии центров. Следовательно, конечный импульс первого шара
может быть равен либо его начальному импульсу
(это означало бы , что шары еще не претерпели столкновения), либо должен быть направлен в противоположную сторону:
. (***)
А поскольку
, то в системе центра масс абсолютно упругий центральный удар шаров приводит к обмену шаров импульсами.
Непосредственно из (*) и (**) с учетом (***) следует:
;
.
Следовательно,
;
.
В качестве примера рассмотрим случай, когда один из шаров покоится, например, т2. Так как v2 = 0, то
и
;
.
Направим одну из осей координат вдоль линии центров по направлению скорости v0 налетающего шара m1. Тогда,
.
Для анализа полученного результата, введем параметр
, характеризующий отношение масс, сталкивающихся шаров. Тогда скорости шаров после удара будут равны:
. Построим графики полученных зависимостей. По оси абсцисс будем откладывать параметр k, а по оси ординат отношение скорости шара после удара к начальной скорости налетающего шара. Кривая 1 относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:
– если масса
налетающего шара меньше
, то его скорость станет отрицательной, т.е. он отлетит после удара в обратную сторону;
– если массы шаров равны т1 = т2 (k =1), то шары обменяются скоростями;
– с ростом массы т1 налетающего шара его скорость после удара будет стремиться к v0, а скорость отскочившего шара к 2 v0. Это максимальная скорость, которую может приобрести отлетающий шар.
Зная конечные скорости шаров v1 и v2, легко вычислить их импульсы р1 и р2.
;
,
где
– начальный импульс налетающего шара.
Построим графики зависимостей импульсов разлетевшихся шаров от параметра k. По оси ординат будем откладывать отношение импульсов шаров р1 и р2 к начальному импульсу налетающего шара р0. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Из анализа этих кривых можно сделать следующие выводы:
– при
налетающий шар приобретает импульс противоположный начальному импульсу р0, а второму шару сообщается удвоенный начальный импульс р0;
– при равных массах (k = 1) шары обмениваются импульсами;
– при соотношении масс
шары после удара имеют одинаковые модули импульсов, равные 0,5р0;
– при дальнейшем росте массы т1налетающий практически не меняет своего импульса р0,а импульс второго шара стремится к
.
Вычислим кинетические энергии
разлетающихся шаров.
;
,
где
– начальная кинетическая энергия налетающего шара.
Построим графики зависимостей кинетических энергий Е1 и Е2 разлетевшихся шаров от параметра k, при этом по оси ординат будем откладывать отношение энергий шаров Е1 и Е2 к начальной энергии налетающего шара Е0. Кривая 1 по-прежнему относится к налетающему шару, а кривая 2 к покоящемуся. Проанализируем полученные кривые.
а) Каждому значению энергии Е/Е0 соответствуют два значения k1 и k2, причем k1 = 1/k2. Действительно, легко убедиться, что
и
. Поясним, что это означает, на следующем примере. Допустим, что один шар тяжелее другого в три раза. Независимо от того, какой из шаров покоится, налетающий шар потеряет три четверти своей первоначальной энергии, т.е. у него останется 0,25Е0.
б) При значениях k1=0,1716 и
энергии разлетающихся шаров равны.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар.
Закон сохранения импульса для нашего случая запишется в виде:
.
Отсюда скорость U шаров, которые после неупругого удара движутся вместе, будет равна:
.
Спроектируем это векторное равенство на ось, совпадающую по направлению с вектором v0.
Тогда импульс р1 первого шара и импульс р2 второго шара после удара будут равны:
Физика. Законы сохранения в механике: Абсолютно упругий удар. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»
