Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Составители: Квасова Галина Ефимовна, канд. физ.-мат. наук, доцент; Макаров Сергей Евгеньевич, канд. физ.-мат. наук, доцент; Макарова Ирина Дмитриевна, старший учитель.

Разглядим дифференциальное уравнение

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

, (1)

где

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

— вещественные постоянные числа. Ответ уравнения (1) находим в виде

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

— подстановка Эйлера (2)

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

— малоизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), возьмём уравнение

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

, (3)

которому удовлетворяет

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

.

Уравнение (3) именуется характеристическим уравнением.

Пускай

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

— корни уравнения (3), причем среди них смогут быть и кратные.

Вероятны следующие случаи:

1)

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

— вещественные и разные

Тогда фундаментальная совокупность ответов уравнения (1) имеет форму

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

и неспециализированным ответом искомого уравнения будем

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

.

2) Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них имеется кратные. Пускай, к примеру,

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

, т. е.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

– есть

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

– кратным корнем уравнения (3), а остальные

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

корнем разные.

Фундаментальная совокупность ответов в этом случае имеет форму

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

,

а неспециализированное ответ

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

.

3) среди корней характеристического уравнения имеется комплексные числа.

Пускай для определенности

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

,

А остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (3)

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

– вещественные).

Фундаментальная совокупность ответов имеет форму

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

а неспециализированное ответ

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

4) , если

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

есть

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

– кратным корнем уравнения (3), то

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

кроме этого будет

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

– кратным корнем и фундаментальная совокупность ответов будет иметь вид

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

а неспециализированное ответ

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Ответ

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector