Составители: Квасова Галина Ефимовна, канд. физ.-мат. наук, доцент; Макаров Сергей Евгеньевич, канд. физ.-мат. наук, доцент; Макарова Ирина Дмитриевна, старший учитель.
Разглядим дифференциальное уравнение
, (1)
где
— вещественные постоянные числа. Ответ уравнения (1) находим в виде
— подстановка Эйлера (2)
— малоизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), возьмём уравнение
, (3)
которому удовлетворяет
.
Уравнение (3) именуется характеристическим уравнением.
Пускай
— корни уравнения (3), причем среди них смогут быть и кратные.
Вероятны следующие случаи:
1)
— вещественные и разные
Тогда фундаментальная совокупность ответов уравнения (1) имеет форму
и неспециализированным ответом искомого уравнения будем
.
2) Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них имеется кратные. Пускай, к примеру,
, т. е.
– есть
– кратным корнем уравнения (3), а остальные
корнем разные.
Фундаментальная совокупность ответов в этом случае имеет форму
,
а неспециализированное ответ
.
3) среди корней характеристического уравнения имеется комплексные числа.
Пускай для определенности
,
А остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (3)
– вещественные).
Фундаментальная совокупность ответов имеет форму
а неспециализированное ответ
4) , если
есть
– кратным корнем уравнения (3), то
кроме этого будет
– кратным корнем и фундаментальная совокупность ответов будет иметь вид
а неспециализированное ответ
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Ответ