Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.
Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных плоскостей. Если используются сферы — способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения цилиндра с конусом вращения (рис.8.4).
Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают цилиндр и конус по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.
Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер — сфер с постоянным центром.
Рис. 8.4. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса
и цилиндра с помощью вспомогательных секущих плоскостей
Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:
— обе линии пересекающиеся поверхности — поверхности вращения;
-оси поверхностей вращения пересекаются;
— точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;
— плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций.
В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования чертежа.
Такие сферы применяют, если:
— одна из пересекающихся поверхностей — поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;
— две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости — плоскости их симметрии).
Рис. 8.5. Пример построения линии пересечения поверхностей конусов
с помощью концентрических сфер
Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций (это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).
Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются с помощью эксцентрических сфер (рис. 8.6).
Ось конуса параллельна плоскости П2, ось тора перпендикулярна плоскости П2, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П2. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а2 и низшая d2 — являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса.
Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b2, выполняют следующие построения: выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией 12 22 с центром в точке с проекцией 32.
Рис. 8.6. Пример построения линии пересечения поверхностей конуса и тора
с помощью эксцентрических сфер
Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 32 является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией 12 22. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О1. Эта сфера радиусом R1пересекает конус по окружности с проекцией 4252. Пересечение проекций 12 22 и 42 52 является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b2 одной из указанных точек — точки на видимом участке линии пересечения.
Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c2, выполнено с помощью отрезка 62 72 — проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c2 — сфера радиусa R2 с центром, проекция которого О2. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 82 92. В пересечении проекций 62 72 и 82 92 окружностей находим проекцию c2 искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.
- 1. От каких параметров поверхности и плоскости зависит форма линии пересечения поверхности с плоскостью?
- 2. Каков алгоритм (порядок) определения линии пересечения поверхности плоскостью?
- 3. Какое положение плоскости пересечения по отношению к поверхности является предпочтительным для определения линии пересечения?
- 4. Какой способ построения линии пересечения называется способом вспомогательных сфер?
- 5. В каком случае при определении линии пересечения применяются концентрические (эксцентрические) сферы?
- 6. Какой способ построения линии пересечения необходимо применить, если две поверхности имеют общую плоскость симметрии?
- 7. Приведите пример определения линии пересечения поверхностей с помощьюэксцентрических сфер.
Лекция 12 | Начертательная Геометрия | ОмГТУ | Лекториум
