Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок

Чтобы вычислить механические характеристики тонких пластинок, занимающих область DIXOY, (массу, статические моменты, моменты инерции), нужно заметить, что все эти величины являются аддитивными, и применить общую методику приложений интегрального исчисления.

Сначала нужно вспомнить простейшие формулы из физики:

1)		— так вычислить массу пластинки, площадь которой , а поверхностная плотность материала является постоянной величиной;
2)		если точечная масса расположена на расстоянии от оси , то её статический момент относительно оси вычисляется по формуле ;
при этом точки, расположенные по разные стороны от прямой , имеют статические моменты разных знаков;
3)	момент инерции точечной массы относительно оси вычисляется по формуле , а относительно некоторой точки — по формуле , где — это расстояние от материальной точки до точки .

Эти формулы нельзя применить к вычислению массы или моментов всей пластинки, занимающей конечную часть плоскости, так как есть неоднородность или по плотности

или по расстояниям

и

для различных точек пластинки.

В соответствии с методикой приложения интегрального исчисления, разбиваем область D, занятую пластинкой, на малые (элементарные) части и составляем формулу для элементарного слагаемого искомой характеристики (Рис. 11), используя физические упрощения (например, можно считать каждую элементарную часть однородной или заменить её точечной массой). Затем суммируем все элементарные слагаемые и переходим к пределу при условии, что все элементарные части неограниченно измельчаются, убирая этим погрешность, допущенную при составлении элементарных слагаемых. В результате выходим на определение двойного интеграла по области D от некоторой функции координат x, y:

,

где

— это элементарная площадь

— это элементарное слагаемое величины

, аддитивной по области D .

Формула для вычисления массы неоднородной пластинки имеющей поверхностную плотность

:

каждую элементарную часть пластинки считаем однородной, тогда

(4)

Формула для вычисления статических моментов тонких пластинок относительно координатных осей:

считаем каждую элементарную часть точечной массой; тогда

	(5)
	(6)

Формулы для вычисления моментов инерции тонких пластинок относительно координатных осей:

	(7)
	(8)

Формула для вычислеия момента инерции пластинки относительно точки начала координат:

(9)

Урок 99. Задачи на вычисление моментов инерции (ч.2)

Похожие статьи:

• Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
• Метод статических испытаний вычисления интегралов или метод монте-карло.
• Статическое и динамическое равновесие потребителя