Теорема
(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция
определена на интервале
и имеет непрерывную, не равную нулю в точке
вторую производную. Тогда, если
всюду на интервале
, то функция имеет вогнутость на этом интервале, если
, то функция имеет выпуклость.
Определение
Точкой перегиба графика функции
называется точка
, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция
имеет перегиб в точке
, то
или не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
1. первая производная
непрерывна в окрестности точки
;
2. вторая производная
или не существует в точке
;
3.
при переходе через точку
меняет свой знак,
тогда в точке
функция
имеет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
1. Найти вторую производную функции.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Пример
Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
Решение. Найдем вторую производную заданной функции:
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
:
Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Так как на промежутке
вторая производная
, то на этом промежутке функция
выпукла; в силу того, что на промежутке
вторая производная
— функция вогнута. Так как при переходе через точку
вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.
Ответ. Точка
— точка перегиба графика функции.
На промежутке
функция выпукла, на промежутке
функция вогнута.
Исследование функции. Точки перегиба от bezbotvy
