Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между можно считать линейной.

При испытании стержня на растяжение (о механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении, которая называется законом Гука:

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука
(3.12)

где упругая постоянная

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

называется модулем продольной упругости.

Тем же экспериментальным путем установлена связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука
(3.13)

где

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

— линейная деформация в поперечном направлении,

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

— вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.

При механических испытаниях на чистый сдвиг установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука
(3.14)

где величина

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука
(3.15)

Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.

Определим удлинение ребра

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

параллельного напряжению

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

При действии этого напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Напряжение

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

а в направлении ребра — укорочение, которое согласно (3.13) составляет

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

или, с учетом выражения деформации

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Аналогично определяется относительное укорочение ребра

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

при действии напряжения

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

На основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

или

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Аналогично можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:

Связь между тензорами напряжений и деформаций. обобщенный закон гука

Сопромат. Напряжения. Доступным языком.


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: