Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между можно считать линейной.
При испытании стержня на растяжение (о механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении, которая называется законом Гука:
(3.12) |
где упругая постоянная
называется модулем продольной упругости.
Тем же экспериментальным путем установлена связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:
(3.13) |
где
— линейная деформация в поперечном направлении,
— вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.
При механических испытаниях на чистый сдвиг установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:
(3.14) |
где величина
является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью
(3.15) |
Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений
Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.
Определим удлинение ребра
параллельного напряжению
При действии этого напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра
Напряжение
вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру
а в направлении ребра — укорочение, которое согласно (3.13) составляет
или, с учетом выражения деформации
Аналогично определяется относительное укорочение ребра
при действии напряжения
На основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра
можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:
или
Аналогично можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:
Сопромат. Напряжения. Доступным языком.