Выше сопоставлялись состояния в моменты времени t=0 и t¹0. Здесь будем сопоставлять состояния в моменты времени t и
. Разность параметров одной и той же материальной частицы в эти моменты, отнесенные к интервалу времени dt, называется скоростями этих параметров материальной точки.
В подходе Лагранжа, когда некоторый тензор T, характеризующий материальную частицу, рассматривается как функция ее начальной координаты
и времени t (
), скорость определяется дифференцированием этой функции по второму аргументу:
. (1)
Учтено, что для материальной частицы идентифицирующий ее параметр
постоянен (в отличие от текущего положения
) и его скорость равна нулю.
В подходе Эйлера (
) материальная скорость
(скорость изменения значения T для материальной частицы) вычисляется сложнее, так как с течением времени изменяется и
и t. Величина
относится уже к другой частице!
Таким образом, если в предыдущем параграфе (когда сопоставляли моменты времени t и to) рассмотрение на основе двух подходов было симметричным (
и
), то сейчас симметрии нет. Если
, то
.
. Если, как и в (1), взять частную производную
, (2)
мы сравниваем между собой значения T в два момента времени t и t+dt в одной и той же точке пространства
. Производную
называют пространственной, или локальной производной (скоростью). Например, для температурного поля в среде
история
– запись температуры , снимаемой градусником, помещенным в точку пространства
;
– локальная скорость изменения температуры, которую можно получить с помощью такого градусника.
Но значения
– это температуры различных частиц, попадающих поочередно в точку
. Если нас интересует материальная скорость (скорость изменения тензора, относящегося к одной материальной частице), то нужно сравнивать между собой значения
и
, причем
, где
– скорость частицы.
Таким образом, рассматривая координаты
в неподвижном декартовом базисе
как скалярные параметры (в правомочности такого подхода мы уже убедились):
или
(3)
Здесь
– локальная (пространственная) скорость,
– конвективная скорость. Конвективная скорость связана с переходом в соседнюю точку поля. Добавим, что переменная
(независимая в подходе Эйлера) называется пространственной, а
(независимая переменная в подходе Лагранжа) называется материальной.
Чтобы пояснить смысл конвективной скорости, рассмотрим стационарное температурное поле (
). На рис. 6 показаны две линии уровня
и
. С течением времени температура не изменяется, но за время dt материальная точка из положения
(
) переходит в
(
). По свойству градиента
, откуда
– конвективная скорость изменения температуры.
Другой пример применения формулы (3) – вычисление ускорения частицы
при заданном поле скоростей частиц
. В подходе Лагранжа
и
(4)
– скорость одной частицы!
Но в подходе Эйлера
,
(5)
локальное и конвективное составляющие ускорения.
Естественно, для одной и той же частицы получим одно и то же ускорение: частная производная в выражениях (4) и (5) берется от двух разных функций.
Тензор – градиент
, входящий в выражение (5), ниже будет играть важную роль; обозначим его, вслед за Л.И.Седовым, Y. Таким образом,
.
Сам вектор скорости частицы
(см. (3)) представляет скорость изменения положения частицы
; если
, то
. (6)
Но в подходе Эйлера
для вычисления скорости можно использовать формулу (3), учитывая, что параметр
частицы неизменен:
тогда
(7)
(с учетом, что
).
Оптика. Свет — природа и свойства
