Я повторяю то, что подчеркивал в гл. 1 (и в других местах): в любой ситуации имеются элементы или черты, которые являются центральными в структуре, и другие элементы, которые таковыми не являются, будучи периферическими, изменчивыми. Например, абсолютные длины вспомогательных линий параллелограмма связаны со структурной взаимосвязью не больше, чем цвет параллелограмма.
Увидеть, постичь, понять, что является структурно центральным, а что нет, — вот самое главное во всех случаях мышления. В разделе 14 гл. 1 мы привели пример, когда испытуемым была высказана гипотеза (что последовательные произведения возрастают на единицу), не имевшая ничего общего со структурой, подразумеваемой в задаче.
Чтобы пояснить этот вопрос, я приведу пример совершенно иного рода. Говорят, что эти события произошли в маленькой деревушке в Моравии во времена старой Австрийской империи. Однажды сюда приехал инспектор министерства просвещения. Проведение таких периодических проверок школ входило в его обязанности. Понаблюдав за классом, он в конце урока встал и сказал: «Дети, я рад был видеть, что вы хорошо занимаетесь. У вас хороший класс. Я удовлетворен вашими успехами. И вот, прежде чем уехать, я хочу задать вам один вопрос: «Сколько волос у лошади?» К удивлению учителя и инспектора, один девятилетний мальчик очень быстро поднял руку. -Мальчик сказал: «У лошади 3571962 волоса». Инспектор с удивлением спросил: «А откуда ты знаешь, что это точное число?» Мальчик ответил: «Если вы не верите мне, можете сосчитать сами». Инспектор разразился громким смехом, искренне радуясь ответу мальчика. Когда учитель провожал его к двери, он, все еще от души смеясь, сказал: «Какая забавная история! Я должен рассказать ее своим кол-
легам по возвращении в Вену. Я уже предвижу, как они воспримут ее; ничто не радует их так, как хорошая шутка». И с этим он уехал.
Прошел год, инспектор снова приехал в ту же сельскую школу с ежегодным визитом. Когда учитель провожал его к двери, он остановился и сказал: «Между прочим, господин инспектор, как понравилась вашим коллегам история с лошадью и количеством волос у нее?» Инспектор похлопал учителя по спине. «О да, — сказал он. — Видите ли, я действительно хотел рассказать эту историю — это была очень забавная история, — но понимаете, я не смог этого сделать. Когда я вернулся в Вену, то, хоть убейте, никак не смог вспомнить число волос».
Это выдуманная история, по крайней мере я надеюсь, что это так. Я спрашивал многих людей, после того как они прослушали рассказ: «В чем суть этой истории?» Один тип ответа: «Это действительно глупая история; этот инспектор мыслил так, что нарушал старые логические различия между существенным и несущественным». Я сказал: «Конечно, но скажите, пожалуйста, что вы понимаете под словом «существенный»?» Большинство людей не могут объяснить это (кроме того, они не чувствуют необходимости в объяснении столь очевидной вещи). А те, кто может, либо делают это очень неуклюже и довольно странно, либо приводят исторические варианты значения слова «несущественный» типа «быть непостоянным» и т. п. и считают вопрос решенным, хотя в действительности это не ответ.
Некоторые отвечают правильно: «Видите ли, не имеет значения, какое количество волос названо в рассказе». Я сказал: «Правильно, но скажите, пожалуйста, почему?» И затем иногда отвечают, что число волос «несущественно». «Величина числа никак не связана с основной мыслью рассказа, между ними нет никакой взаимозависимости или, точнее, нет никакой осмысленной внутренней связи между всем рассказом и именно этим числом (нет ?-отношения). Поэтому число можно варьировать в разумных пределах». Функция этого элемента, его место и роль в структуре никак не связаны с тем, каково именно это число. Структура не предъявляет никаких функциональных требований к точности числа. Структурным требованиям удовлетворяет здесь любое (большое) число.
А почему этот рассказ часто воспринимается как очень хорошая шутка? Из-за удивления при виде глупой решимости придерживаться именно этого числа, как будто его
конкретное значение является релевантным элементом структуры. Смешно видеть столь нелепое поведение инспектора. Я мог бы добавить, что некоторых людей это мало волнует; они не могут связать рассказ с реакцией на него; другие же, по-видимому, вообще не задумываются о том, каков был ход мышления инспектора, а говорят о возможных чертах его характера.
Такие личностные проблемы весьма важны, но необходим и другой подход: нужно ясно понять, что означает такое поведение со структурной точки зрения. Возможно, появление такой установки мышления является в этих случаях вовсе не вопросом личностной характеристики индивида, а тенденцией, созданной определенным типом образования (основанным на определенных тенденциях теоретической психологии) и только преувеличенной в подобной шутке.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Рекомендации для обучения теме «Площадь»
I
Какой способ обучения доказательствам психологически хорош, а какой плох — это вопросы, которые следует решать эмпирически. Нужно сравнить различные способы обучения, учитывая те трудности, которые возникают при усвоении, запоминании, а также возможности их воспроизведения и применения к решению других задач. Дело не только в овладении определенными приемами, но также и в ориентации в материале, открытости ума, развитии способностей мыслить.
Это вопросы опыта и экспериментирования. Но следует не просто слепо сравнивать любые приемы обучения, а попытаться изучить эффекты применения противоположных приемов в свете нашей главной проблемы: проблемы структурной осмысленности или структурной произвольности в самом процессе обучения.
Здесь я намечу один из возможных, психологически осмысленных способов обучения, которым мог бы воспользоваться учитель.
Для многих — не для всех—детей желательно начинать с конкретных, реальных жизненных ситуаций, когда предлагаемая задача, скажем определение площади прямоугольника, является вполне разумным требованием. Это можно сделать, например, рассказав им о двух фермерах, которые обмениваются двумя участками земли, или о фермере, который пытается узнать, сколько потребуется зерна для определенной части его поля, — эти ситуации естественно требуют определения площади.
Для таких детей весьма существенно, есть ли вообще какой-нибудь реальный смысл в постановке данной проблемы. В качестве иллюстрации могу привести следующие примеры.
Двадцать пять лет назад родители девятилетней девочки, мои друзья, сказали мне, что она испытывает большие затруднения в учебе. Дела обстояли настолько плохо, что учитель девочки посоветовал родителям обратиться за со-
ветом к психиатру. Родители привели девочку к профессору Z, известному психиатру и психологу, в то время заведовавшему психиатрической клиникой. С грустью они сообщили мне о том, что он провел тестирование и посоветовал забрать ее из школы — столь низким был уровень ее развития. Он предложил поместить ее в дом для умственно отсталых детей и в заключение предупредил родителей, что если они не последуют его совету, то ребенок станет неуправляемым и, возможно, даже преступником.
Родители не могли последовать такому совету. Они чувствовали, что заключение психолога о их ребенке несправедливо: девочка часто проявляла отличный здравый смысл, особенно в реальных жизненных ситуациях, интересовалась искусством. Однако она испытывала трудности в учебе, особенно в арифметике. Низкие результаты тестирования интеллекта, полученные профессором, вполне согласовывались с ее плохой школьной успеваемостью.
Родителей интересовало мое мнение. Зная ребенка с младенчества, зная, что она была прекрасным здоровым ребенком, я предложил поговорить с ней. Вначале я попросил девочку рассказать мне, какие вопросы задавал ей профессор Z. Это были обычные вопросы, в том числе и арифметические задачи. Я переменил тему разговора. Я рассказал ей о конкретных событиях, которые якобы произошли в семье соседей, где мать собиралась купать ребенка, не имея подходящих емкостей. Девочка очень заинтересовалась рассказом, и, когда в драматический момент я задал вопрос: «Что делать?», — она реагировала живо и разумно. И это несмотря на тот факт, что я выбрал вопросы, требующие не только выполнения тех операций, которые проверял профессор Z, но также и других, более трудных операций. Девочка не могла решать задачи, смысла которых она не понимала. Однако если проблема возникала в конкретной ситуации, если сама ситуация требовала решения, она не испытывала каких-либо особых трудностей, часто демонстрируя присущий ей здравый смысл.
Один из моих друзей, антрополог из Любека, долгое время жил в одном племени в Центральной Африке. По возвращении он показал мне прекрасные вещи, которые привез с собой, и добавил: «Но я должен получить еще несколько отличных вещиц. Некоторые из мужчин племени, с которыми я дружил, согласились сделать и прислать мне хижину аборигена, со всей обычной утварью и художественными украшениями. Я хотел выставить их в своем му-
зее Они согласились сделать все вещи в треть их обычной величины, так как у меня нет места для экспонатов в полную величину. Я хотел бы показать их тебе, когда они прибудут. Они тебе понравятся».
Несколько месяцев спустя вещи прибыли. Все было в порядке, все предметы были в три раза меньше их обычной величины. Но моего друга удивило несоответствие некоторых деталей. Котелок для приготовления пищи и деревянная подставка, которую кладут под голову во время сна, имели натуральную величину.
Антрополог написал письмо одному из своих друзей, миссионеру, который жил с этими людьми, и попросил его по-дружески пожурить их и заставить прислать те несколько предметов в нужной пропорции. Пришлось долго ждать ответа. Он гласил: «Я не смог заставить этих людей выполнить заказ. Они настаивали на том, что если человек и может жить в такой маленькой хижине, то было бы бессмысленно делать горшок для приготовления пищи (н без того достаточно небольшой по размеру) таким маленьким, Так же обстояло дело и в отношении деревянной подставки». Миссионер писал, что он не нашел способа убедить аборигенов выполнить заказ.
Еще один пример: антропологу, работавшему над составлением грамматики языка аборигенов, оказывал помощь туземец, который переводил ему различные истории и предложения. Однажды ассистенту нужно было перевести какое-то предложение, но антрополог никак не мог добиться от него перевода. Оказавшись в затруднительном положении, он попытался выяснить, какие слова или грамматические окончания вызывают трудности. И лишь некоторое время спустя туземец выпалил: «Как я могу перевести это ваше предложение: «Белый человек убил сегодня шесть медведей»? Это чепуха. Белый человек не может убить шесть медведей в один день».
В этих примерах операции, сама цель рассматриваются в тесной связи с функциональным смыслом всей ситуации, их не абстрагируют от той функции, которую они выполняют.
Короче, как я уже говорил об этом в исследовании о мышлении примитивных народов 1, существует большое
1 См.: Wertheimer M. Uber das Denken der Naturvolker, Zahlen und Zahlgebilde.—Zeitschrift fur Psychologie, 1912, Vol. 60, S. 321—378; или Wertheimer M. Drei Abhandlungen zur Gestalttheorie. Erlangen, Philosophische Akademie, 1925.
различие между выполнением задания, которое возникает в реальной жизненной ситуации или соответствует ей, и выполнением задания, не связанного ни с какой реальной ситуацией пли даже противоречащего данной ситуации и имеющего смысл лишь при условии, если полностью абстрагироваться от его роли в реальной жизни.
Но, как я уже отмечал в этой работе, было бы ошибкой делать вывод, что такое неумение абстрагироваться свидетельствует об отсутствии способности мыслить. Если кто-то отказывается производить абстракцию, которая кажется ему бессмысленной, если он не может или не хочет иметь дело с такими абстракциями, то это может свидетельствовать лишь о том, что он серьезно рассматривает конкретную ситуацию. Конечно, в нашей науке абстрагирование от реальности является очень важным инструментом. Но неспособность или отказ выполнять действия, если непонятен действительный смысл научного абстрагирования,— это признак не плохого, а хорошего мышления. Непринятие тех или иных абстракций само по себе не является критерием оценки мышления. По-настоящему мыслящие люди отказываются, а иногда и не могут выполнить задания, которые предполагают совершенно бессмысленные абстракции, они восстают против них.
Поэтому некоторых детей следует знакомить с геометрическими задачами с помощью жизненных ситуаций, в которых само задание имеет для них реальный смысл.
Но есть много детей — и взрослых, — которые не нуждаются в такой помощи. Их легко заинтересовать «теоретическими» проблемами. Они воспринимают проблему как интересное задание, как побуждение к творческой деятельности. И, изучая геометрию, они могут и даже жаждут применить то, что они приобрели в результате понимания, к другим геометрическим и жизненным проблемам. Крайним случаем такой установки являются, конечно, глупые попытки применять такие методы повсюду независимо от того, являются ли они подходящими в данной ситуации.
Я думаю, что задача образования состоит в том, чтобы развивать у детей «теоретический» интерес первого рода. Он открывает им удивительное царство кристальной ясности и внутренней согласованности. И я полагаю, что формальное образование с полным основанием считало, что математика очень важна для развития мышления, тогда даже в практических ситуациях человек не так легко становится жертвой нечеткого, путаного мышления.
II
1. Обращавшиеся ко мне преподаватели математики неоднократно говорили о том, что их не удовлетворяют традиционные методы обучения. Они говорили также, что читали или слышали о моих исследованиях н чувствовали, что они могут помочь им преподавать более осмысленно. Но они не знали, как это можно сделать, как можно разработать конкретную методику обучения в свете гештальт-теории.
Я склонен считать, что основные позитивные выводы в отношении обучения уже содержались в предыдущих главах этой книги. Здесь я попытаюсь изложить один метод, который отвечает моим теоретическим построениям. Но я сразу же скажу: есть хорошие учителя, которые поступают сходным образом, интуитивно чувствуя, каким должно быть обучение. Большая часть того, что я предложу, никоим образом не является совершенно «новым». Но мой метод, конечно, во многом отличается от тех методов, которые применяются во многих школах.
Существует мною хороших методов, и иногда различные дети нуждаются в разных (хотя и структурно сходных) подходах. Легче всего, конечно, учить одного ребенка. Здесь я буду говорить о таком обучении. Однако вполне возможно, а иногда и весьма желательно использовать метод группового мышления в классе.
Мой собственный опыт преподавания свидетельствует о том, что лучше всего — особенно поначалу — как можно меньше показывать, «учить». Желательно также, насколько возможно, не давать готовых ответов. Ребенок должен сам прийти к задачам, которые он будет пытаться решить. Пусть он столкнется с проблемами, пусть получит помощь от преподавателя, когда она ему понадобится, но пусть он не просто копирует или повторяет показанные действия. Я бы по возможности избегал всего, что может привести к механизации обучения, к установке на механическое повторение.
Проиллюстрирую сказанное на примере определения площади какой-либо фигуры. Важнее всего, чтобы ребенок, оказавшись в структурно осмысленной проблемной ситуации, сам нашел свой метод. Если ребенок теряется и говорит: «Я не могу этого сделать», то часто достаточно просто сказать: «Постарайся, возможно, ты и найдешь выход». А если это не помогает, можно дополнительно спро-
сить: «Что тебе мешает?» И только в том случае, если эти меры не помогут, следует оказать конкретную помощь.
2. Осмысленный способ введения понятия «величина площади» прямоугольника. Я бы не начинал с объяснения того, как определить площадь прямоугольника, в особенности с конкретного определения. Потому что смысл понятия «величина площади» может быть совершенно непонятен ребенку. Я бы скорее начал с ситуации, которая осмысленно связана с проблемой «больше» или «меньше».
Например, я дал бы ребенку два прямоугольника с одинаковыми основаниями, один из которых явно выше другого. И я бы спросил: «Как можно точно определить,
Рис. 171
насколько второй прямоугольник больше первого?» Естественно, не проводя вспомогательной линии. Я бы вырезал из картона два прямоугольника и положил рядом, чтобы ребенок мог прийти к мысли положить один прямоугольник на другой, совместить их и увидеть остаток.
Затем я бы обратился к реальному измерению. «Эта фигура, как видите, имеет 9 дюймов в ширину, такую же ширину имеет и вторая фигура. Далее, высота одной фигуры равна 5, а второй — 6 дюймам». И я вначале обрадовался бы, услышав, что ребенок просто говорит: «Один прямоугольник больше другого на одну полоску или на одну полоску, ширина которой равна 9 дюймам, а высота — 1 дюйму».
2а. Здесь я могу прервать рассказ. Для многих детей эта абстрактная процедура является, как было сказано выше, вполне доступной. С другими детьми желательно начинать с проблемной ситуации, в которой они смогут почувствовать конкретный смысл задачи. Например, я мог бы начать со следующей истории: «Жил-был фермер (или еще лучше для некоторых детей добавить: «По соседству, несколько дней тому назад»), который хотел переехать в другое место. Он нашел фермера, который готов был обменяться с ним участком. Обе фермы были во многом похо-
жи и были почти одинакового размера. Договариваясь об обмене, фермеры хотели точно определить, действительно ли одна из ферм больше другой, и насколько. Вот рисунок этих двух ферм.
Рис. 172
А теперь скажи, как мы можем узнать, какая из ферм больше?»
Вместо ответа ребенок может задать вопрос, например: «А хватит ли у фермера, у которого ферма меньше, денег, чтобы уплатить разницу?» Но в большинстве случаев можно легко поставить ребенка перед проблемой сравнения этих фигур.
2б. Если это не помогает, можно попробовать еще одну конкретную ситуацию, предполагающую более конкретную помощь. «Ты сидишь на полу с другим мальчиком, и каждый из вас строит стенку из кубиков. Ты уже использовал все свои кубики, а у другого мальчика еще целая куча неиспользованных кубиков. Тебе очень хочется построить свою стену на один кубик выше, и ты просишь у другого мальчика несколько кубиков. Он отказывается дать их тебе, и ты ему говоришь: «Мне нужно не много, у тебя очень много кубиков, которые тебе не нужны, почему ты не можешь дать мне несколько?» Тот сердито отвечает: «Сколько тебе нужно?» Ну, так сколько кубиков тебе понадобится, если ты хочешь построить стену на один или два кубика выше?»
Некоторых учителей может испугать смешение трехмерных и двумерных объектов. Можно, конечно, начать с картонных квадратиков, но, по-моему, это не имеет значения, лично я предпочитаю пользоваться кубиками.
3. Как прийти к «формуле». При помощи таких заданий — и еще лучше, если только возможно, при помощи чисто абстрактных заданий — я бы постарался добиться, чтобы ребенок сам пришел к формулировке: «Мне нужен еще один ряд (или еще два ряда и т. д.). Мне нужно столь-
ко-то рядов, я число рядов должно быть умножено на число кубиков в одном ряду».
Рис. 173
Затем я спросил бы: «Сколько маленьких квадратиков во всей этой фигуре?» (Или: «Чему равна вся площадь?») Ребенок мог бы тогда ответить: «Нужно измерить основание, нужно измерить высоту и перемножить их».
4. Здесь я позволил бы ребенку обнаружить, что можно действовать и так, и эдак независимо от того, какую сторону принять за основание.
Рис. 174
Часто приятно наблюдать, как ребенок радуется, когда узнает, что возможны оба варианта. При определенных условиях обнаружение того, что аb = bа, является подлинным открытием, подобным инсайту.
5. Задачи на обсуждаемую тему. Я бы не стал продолжать вычисления на слишком большом числе других примеров этого типа, опасаясь, что ребенок может забыть структурную формулу. Вместо этого я дал бы вначале несколько интересных различных примеров. И я бы привел еще один пример, к которому описанный метод неприменим, ожидая, пока ребенок сам не сделает вывод: «Я не могу решить эту задачу тем же способом, здесь нужно сосчитать маленькие квадратики». Я бы дал задания, напри-
мер, на определение размера комнаты или двух столов или даже на определение кубического объема комнаты или объема трехмерной коробки, заполненной кубиками. В этой задаче внимание сосредоточивается на количестве кубиков в одном квадрате, которое нужно умножить на высоту, а не просто на умножении сторон.
6. Площадь параллелограмма. Лучше всего просто спросить: «Какова площадь этой фигуры? Можешь ли ты ее определить?» Как и в случае с прямоугольником, некоторые дети, немного подумав и при поддержке учителя, сами находят решение.
Если ребенок не продвигается вперед, можно спросить; «Что тебе мешает? Почему это так трудно сделать?» На что ребенок может ответить: «Трудность связана вот с этими концами. Если бы они были такими же, как у прямоугольника, все было бы хорошо».
6а. В некоторых случаях полезно дать следующую фигуру:
Рис. 175
Иногда дети отвечают: «О, посередине все хорошо, но…»
6б. Или: «Вот домик из кубиков с прямоугольной верхней частью. Мне хотелось бы сделать для него красивую крышу. Вот у меня кусочек красно-коричневого картона. Может быть, его можно использовать. Длина картона такая же, как и у верхней части домика, но, к сожалению, она имеет форму параллелограмма. Можешь ли ты сделать из нее крышу нужной формы?»
Возможно, лучшим приемом (поскольку здесь помощь меньше) был бы следующий: «Вот картонный параллелограмм. Что нужно сделать, чтобы получить из него прямоугольник?»
6в. Альтернативный прием. После того как я просто поставил задачу найти площадь параллелограмма и не добился результата, я кладу перед ребенком совершенно другую фигуру, у которой есть два структурных нарушения, одно — явно неподходящее добавление, другое — выемка или пустота (см. рис. 176).
Для некоторых детей переход от такого структурно более легкого задания к явно непохожему случаю с параллелограммом без дополнительной помощи оказывается трудным или непосильным. Но есть дети, которые, решив эти задачи, возвращаются к параллелограмму, улыбаются и решают задачу.
Рис. 176
6г. При необходимости я ввел бы задачу из реальной жизни: «Механик, делающий металлические плиты (прямоугольной формы), пользуется следующим способом определения количества металла, который ему понадобится для прямоугольника определенного размера. (Здесь следует обучение определению площади прямоугольника.) Однажды его просят сделать плиту следующей формы.
Рис. 177
Он хотел бы знать, сколько понадобится металла в данном случае. (Или аналогичным образом при определении веса и т. п.)
Вначале механик растерялся. «Как же мне это узнать?» — спрашивает он. Но вскоре он улыбнулся. Он нашел нужный способ. Как же он сделал это?»
Но добавлю, что многим детям я бы не стал давать подобную задачу. Для многих из них все и так слишком очевидно. Они не нуждаются в столь длинном вступлении,
которое хотя и может быть занятным, но недооценивает их возможности.
Эти рисунки очень помогают схватить структурный характер «отклонения», «нарушения», «пробела», «здесь требуется именно то, что является ненужным добавлением там».
Здесь я бы показал фигуру, для которой этот способ не подходит, предоставляя ребенку возможность самостоятельно разобраться, в чем тут дело.
Рис. 178
6д. Еще один прием. В некоторых случаях бывает необходимо использовать фигуру, содержащую один или два ряда прямоугольников с треугольниками на концах.
Рис. 179
7. Прием проведения вспомогательных линий. В большинстве случаев, которые я наблюдал, такие приемы действительно приводили к инсайту, озарению: преобразованию параллелограмма в прямоугольник. И только в тех случаях, когда все эти формы помощи не приводили к результату, я показывал ребенку те конкретные действия, которые он должен был найти.
Но я не начинал бы с того, что следует опустить два перпендикуляра. Вначале я сказал бы, что для получения прямоугольника необходимо исправить два конца. Затем я снова подождал бы и посмотрел, не пришел ли ребенок самостоятельно к следующему действию.
Или я спросил бы: «Как можно превратить его в прямоугольник на одной стороне?» Если бы это не помогло, я сначала отрезал бы левый конец и, подождав немного, спросил: «А что делать с другой стороной? Есть ли у нас прямоугольник на другом конце?»
И если бы по-прежнему не последовало никакой догадки, я провел бы все необходимые линии и предложил бы две следующие фигуры.
Рис. 180
Если, бы ребенок не реагировал и на этот раз, я бы спросил: «Что можно сказать о размерах этих двух фигур?» И затем: «Из каких частей состоит параллелограмм? А прямоугольник?»
8. После решения: замечания о повторении и механических упражнениях. Достигнув цели — определения площади параллелограмма, — я бы предложил ученику для решения несколько фигур, отличающихся по своему внешнему виду. Но я не заставлял бы его повторять решение на слишком большом числе упражнений. Я скорее дал бы ему несколько задач, требующих определения площади, предложив различные и как можно более интересные фигуры, и включил бы в них задачи, которые нельзя решить этим способом. И без какого-либо формального вступления, как бы невзначай, я включил бы задачу на определение площади трапеции и треугольника.
Рис. 181
Бывает, что ребенок без дополнительного объяснении успешно решает эти задачи. Если же это ему не удается, то можно использовать приемы, подобные описанным выше.
Можно предположить, что смесь столь различных задач будет слишком большой нагрузкой для детского ума. Кое-кто может сказать, что ребенок некоторое время должен заниматься только задачами на определение площади прямоугольника, а затем в течение значительного времени — только параллелограмма. И будет считать включение других, даже «невозможных» задач психологически опасным приемом на том основании, что, прежде чем переходить к новой задаче, следует вначале освоить и многократно повторить старую.
Согласно моему опыту, это справедливо лишь в отношении некоторых детей, например очень робких. В таких случаях следует действовать более медленно. Важно не идти вперед до тех пор, пока не почувствуете, что ребенок освоился с материалом. (Но повторение само по себе не обязательно приведет к усвоению.) Для многих детей желателен прямо противоположный прием. Очень скучно вновь и вновь решать задачи, в которых надоедливо повторяются вещи, которые, как чувствует ребенок, он уже уловил, и это часто толкает ребенка на бездумные действия. Я предполагаю, что в этом одна из причин того, что так многодетен приобретают в школе сильное отвращение к арифметике и геометрии. Если же пользоваться описанной здесь методикой, то дети получат удовольствие от своей деятельности, своих открытий.
III
Доказательство
1. Основные трудности. Переход к геометрическому доказательству, к «демонстрации» должен быть весьма осторожным. Вполне возможно, что ребенок может не уловить смысла «доказательства». Это серьезная проблема. И даже после того, как дети несколько раз правильно реагируют на доказательство, можно сомневаться в том, что они действительно понимают его смысл так, как его понимает геометр. Обычно оно остается для них забавным, не совсем понятным методом, который применяют взрослые. Интересы взрослого, аксиоматически мыслящего человека им непонятны. И невозможно себе представить, что до по-
лучения дальнейших знаний и более «конкретного» понимания множества различных геометрических проблем они смогли бы осмыслить цели математика, которые делают эту процедуру осмысленной.
Тем не менее существуют разумные способы, помогающие детям понять необходимость некоторых «доказательств», даже если традиционные доказательства в действительности понимают лишь немногие.
2. Подход к доказательству. Доказательство нельзя просто навязать ребенку. В крайнем случае его можно ввести следующим образом: «Иногда мы не можем «отрезать лишнее» или «заполнить пробел» в прямом смысле этих слов. Как же в таких случаях убедиться, что мы поступили правильно?» Неплохо было бы сделать рисунок, где равенство площадей не является очевидным, и сказать: «Как убедиться в том, что метод, которым ты поль-
Рис. 182
зовался раньше, подойдет и в этом случае?» На это ребенок может ответить: «Если эти две косые линии параллельны, то тогда можно с полным правом поступать так, как мы поступали раньше». И если ребенка затем спросить: «Почему? Почему ты так в этом уверен?» — он может ответить: «Важно, чтобы то, что я хочу убрать с левой стороны, точно соответствовало тому, что находится справа». Если вы потом спросите: «Как ты можешь доказать это? Что это значит?» — вы можете получить ответ: «Нам нужно, чтобы эти два треугольника были равны». Вопрос: «Можешь ли ты доказать, что они равны, если эти линии параллельны?» Ответ: «Они равны, потому что их проводили так, чтобы они были равными». Вопрос: «Можешь ли ты детально показать, что существенно для их равенства?»
И тогда перед ребенком можно поставить проблему, как доказать конгруэнтность, или на его языке равенство, треугольников, используя равенство линий и углов.
Ребенок может в этом случае воспользоваться некоторыми общими теоремами, которые он изучал раньше, на-
пример теоремой о равенстве соответственных углов. Или прийти к этим проблемам именно в данном контексте.
Мы не склонны утверждать, что ребенок должен всегда, во всех случаях искать доказательство сам. (Хотя распространенный аргумент, что это потребует слишком много времени, кажется мне не вполне верным, не решающим.) Нет возражений против того, чтобы учитель сам демонстрировал все доказательство. Но в таком случае ему следует делать это структурно правильным способом, чтобы способствовать действительному пониманию иерархии фаз доказательства.
Школьный инспектор избил подростка за появление на уроках в спортивной форме
