Задача 10. Разложить в степенной последовательность
в окрестности
.
Ответ.Представим
, и тогда знаменатель прогрессии будет
. Эта функция является суммой нескончаемой геометрической прогрессии, записанную в свёрнутом виде, т.е. мы по формуле должны развернуть её обратно в сумму.
.
Ответ.
.
Задача 11. Разложить в степенной последовательность
в окрестности
.
Ответ. Тут константа не равна 1, тогда возможно вынести константу за скобки, и тогда окажется
. Мы можем пользоваться данной формулой при условии, что
, другими словами
.
Итак,
=
Ответ.
=
Задача 12. Разложить в степенной последовательность
в окрестности
.
Ответ. Тут разложение в окрестности второй точки, а не 0, в этом случае нужно изначально сделать арифметическое преобразование, дабы отделить слагаемое вида
.
После этого вынесем за скобку констенту 4, дабы в знаменателе выражение начиналось с 1, т.е. дабы находилась структура типа
. Итак,
=
.
А уже затем, в качестве знаменателя прогрессии получается
и тогда, при условии, что
, возьмём
.
Это правильно в таковой области:
, т.е.
.
Ответ.
.
Приложения формулы Тейлора.
Нахождение производных большого порядка. Допустим, необходимо вычислить производную 10 порядка в точке 0 для функции, содержащей произведение, к примеру
. В случае если производные до 10 порядка, и только после этого фиксировать число, то на каждом шаге по формуле
происходит удвоение количества слагаемых. Так, их будет до 1024. Кое-какие из них обнуляются в ходе, поскольку понижается степень, так что в действительности меньше, но всё равняется, это весьма трудоёмкая работа, вычислить 10 производную для для того чтобы типа функции. Вместо этого, мы можем выбрать коэффициент при 10 степени из разложения в ряд Тейлора.
Как решать задачи по арифметической и геометрической прогрессии
