Пример 1.3. Найти решение начальной задачи
Решение .
Данное уравнение линейное . Применяем соответствующий алгоритм,
использующий интегрирующий множитель.
1 шаг. Находим общее решение данного дифференциального уравнения.
Вычисляем интегрирующий множитель
и умножаем на него ДУ.
2 шаг. Подставляем начальные данные в полученное общее решение
.
Ответ. Решением начальной задачи является функция
.
Прежде чем рассматривать ДУ второго порядка рассмотрим следующий пример
Пусть дано уравнение
. По теореме Виета
Этот парадокс объясняется тем, что корни
не являются обычными числами . Для них
вводится новое название-« комплексные числа». Начнём с понятия-«мнимая единица».
Мнимая единица обозначается через i и её квадрат равен -1.
. Отсюда
Пусть требуется решить квадратное уравнение
1)
Извлекая из обеих частей квадратные корни, получаем
корни комплексные.
Определение . Если
комплексное число, то
действительная часть , а
мнимая часть данного комплексного числа.
2)
корни действительные различные.
3)
корни действительные равные. Других случаев при решении квадратных уравнений не существует.
Перейдем к изучению линейных ДУ (ЛДУ) с постоянными коэффициентами.
Определение 2. Неоднородным ЛДУ второго порядка назовём уравнение вида
(1)
где
и
постоянные величины. Если
, то уравнение назовём однородным
(2)
Пусть
являются решениями однородного ЛДУ (2)
Определение 3.
линейно независимы , если определитель Вронского
(3)
отличен от нуля.
Определение 4. Решение начальной задачи
,
где
произвольно заданные числа назовём частным решением однородного уравнения.
Определение 5. Общее решение однородного ЛДУ (2) является множеством всех частных решений .
Определение 6. Любое конкретное решение неоднородного ЛДУ (1) назовём частным решением неоднородного уравнения.
ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ
линейно независимые решения ЛДУ (2)(см.(3)), то ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ЛДУ (1) ЗАДАЁТСЯ ФОРМУЛОЙ
(4)
Доказательство. Нужно доказать два факта
1)
является решением однородного ЛДУ (2)
2) любое частное решение можно получить из формулы (4) подбором
постоянных.
Проверим выполнение пункта (1)
первый пункт доказан.
Докажем второй пункт. Пусть
является решением начальной задачи (см. опр.4). Берём общее решение
и докажем существование постоянных
таких, что
. То , что
решение ЛДУ (2) доказано в пункте 1). Осталось подобрать постоянные
, чтобы выполнялись начальные условия.
Теорема доказана. Пара решений
однородного ДУ, удовлетворяющих условию (3)
называется фундаментальной системой решений (ФСР).
Итак, если функция
является решением однородного ДУ (2), то можно подобрать постоянные
так, что
. Здесь
образуют ФСР.
Математика 6 класс. Решение задач на составление уравнений
