ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ: ЭКЗАМЕН.
Основные требования к итоговому контролю:знание основных понятий теории и умение их применять к решению практических задач
Программа по линейной алгебре
1. Множества и операции над ними. Способы задания множеств. Пространства.
2. Отображения. Композиция отображений. Взаимно-однозначные (биективные) отображения. Обратимые и обратные отображения.
3. Комплексные числа и алгебраические операции над ними. Комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
4. Многочлены и алгебраические уравнения. Определения. Разложение многочлена. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) и ее следствия. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами.
5. Системы линейных уравнений. Основные определения: решения, совместность, несовместность, определенность, неопределенность, равносильность систем. Однородные системы. Элементарные преобразования систем (теорема).
6. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений общего вида. Общее, частное, базисное решения; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные переменные. Ранг системы уравнений, максимальное число базисных решений. Жордановы исключения, их применения к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений.
7. Матрицы и векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами и матрицами. Частные виды матриц: квадратная, диагональная, единичная, строка, столбец. Произведение матриц и его свойства.
8. Операция транспонирования матриц и ее свойства.
9. Обратная матрица и ее построение (метод Жордана-Гаусса)
10. Матричный оператор. Построение матрицы по матричному оператору (лемма). Линейность матричного оператора. Композиция матричных операторов. Обратимость матричного оператора .
11. Матричная форма записи систем линейных уравнений и матричный способ ее решения.
12. Определители. Определители n-ого порядка: определение и основные свойства.
13. Разложение определителя по любому столбцу и дальнейшие свойства определителя. Теорема аннулирования. Транспонирование определителя. Определители специальных матриц.
14. Применение определителей к решению систем линейных уравнений. Теорема (формулы) Крамера.
15. Вырожденная, невырожденная матрицы. Критерий обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения.
16. Линейные векторные пространства. Определение векторного пространства. Аксиомы и следствия из них. Примеры.
17. Линейная комбинация, линейная оболочка векторов. Линейная зависимость системы векторов: определения и основные свойства.
18. Размерность и базис векторного пространства. Теоремы: о числе элементов базиса, о виде базиса в n-мерном пространстве, о дополнении до базиса. Критерий линейной независимости n векторов в
.
19. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами в координатной форме. Изоморфизм векторных пространств (определение, критерий).
20. Переход к новому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
21. Подпространства векторного пространства: определения, примеры.
22. Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры. Образ и ядро линейного оператора, основные свойства.
23. Теорема о структуре множества решений неоднородного линейного уравнения , следствия.
24. Матрица линейного оператора. Однозначное соответствие между матрицей и оператором.
25. Операции над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве: сумма, умножение на число, произведение. Обратный оператор и его матрица.
26. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определение, процедура их отыскания. Приведение матрицы линейного операторы к диагональному виду. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.
27. Евклидово пространство. Скалярное произведение, примеры скалярного произведения в
. Евклидово векторное пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процедура ортогонализации базиса в евклидовом пространстве. Скалярное произведение и норма вектора в ортонормированном базисе.
28. Ортогональные подпространства, ортогональность их базисных векторов. Ортогональные дополнения и их свойства.
29. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы и их матрицы. Свойства самосопряженного оператора.
30. Линейные функционалы: определения, примеры. Теоремы об общем виде линейных функционалов.
31. Квадратичные формы: определения, примеры. Квадратичная форма в
, ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (каноническому виду). Знакоопределенность квадратичных форм.
32. Линейные геометрические объекты. Гиперплоскость в
: общее уравнение; нормальный вектор и его свойства, частные виды уравнений. Прямая в
: параметрическое, каноническое, общее уравнение; уравнение по двум точкам.
33. Прямая и гиперплоскость в
: углы, условия параллельности и ортогональности гиперплоскостей, прямых и друг с другом.
34. Расстояния между двумя точками, от точки до гиперплоскости. Уравнение отрезка и его середина.
35. Прямая линия на плоскости: общее уравнение и с угловым коэффициентом. Построение прямой линии по общему уравнению.
36. Гиперповерхности уровня линейных функционалов и квадратичных форм.
37. Выпуклые множества. Системы линейных неравенств Линейные задачи оптимизации, графический способ их решения.
Эконометрика: Ликбез по линейной алгебре #7
