Гладкая поверхность является ориентируемой (двусторонней), если можно построить на ней непрерывное поле единичных нормальных векторов, в противном случае поверхность будет неориентируемой (односторонней). Поле единичных нормалей определяет ориентацию (или сторону) поверхности.
Гладкая поверхность, являющаяся границей области в пространстве
ориентируема. Нормальные векторы, направленные внутрь области, называются внутренними нормалями, внешняя сторона поверхности определяется внешними нормалями.
Примерами неориентируемых поверхностей являются лента Мебиуса и бутылка Клейна
Рассмотрим простую поверхность
, заданную уравнением
, c положительно ориентированной границей
. Пусть контур
задается параметризацией
Образ положительно ориентированного контура
при гладком отображении называется положительно ориентированным краем поверхности
и обозначается
.
Ориентация поверхности, задаваемая полем нормалей, совпадает с положительной ориентацией границы, если обход контура идет против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора нормали.
Пусть поверхность
является кусочно-гладкой и состоит из двух гладких поверхностей
и
, склеенных вдоль кусочно-гладкой кривой
.
Ориентации границ
и
поверхностей
и
называются согласованными, если каждая из них порождает на склеивающей кривой
противоположные ориентации.
Кусочно-гладкая поверхность
, склеенная из гладких поверхностей
называется ориентируемой, если существуют такие ориентации границ
поверхностей
, что для любых двух соседних поверхностей
и
их ориентации согласованны.
Пусть в некоторой окрестности простой гладкой поверхности
задано непрерывное векторное поле
Ориентируем поверхность единичными нормалями
Обозначим
.
Поверхностным интегралом второго рода называют интеграл
В декартовых координатах имеем
Данный интеграл также называют потоком векторного поля через ориентированную поверхность
. В случае вычисления потока через замкнутую поверхность, нормаль обычно берут внешнюю.
Свойства
Поверхностный интеграл второго рода обладает всеми свойствами поверхностного интеграла первого рода, кроме
- Поверхностный интеграл второго рода при изменении ориентации поверхности на противоположную изменяет знак.
Бутузов В. Ф. — Математический анализ — Поверхностные интегралы II рода (Лекция 20)
