При изучении более чем двумя случайными величинами Х1, Х2, …, Хn с заданным совместным распределением используют множественные и частные коэффициенты корреляции и корреляционные отношения.
Применение обычных коэффициентов парной корреляции при множественной корреляции для изучения связи двух случайных величин может привести к неправильным выводам. Если коэффициент парнойкорреляции между двумя случайными величинами уменьшается или становится близким к нулю при других фиксированных случайных величинах, то можно сказать, что взаимозависимость этих случайных величин в значительной мере (или определяющим образом) имеет место благодаря третьим факторам. Если же при фиксации третьих факторов степень взаимозависимости двух случайных величин возрастает, то это означает, что эти факторы «маскировали» истинную взаимозависимость двух случайных величин.
Частный коэффициент корреляции– это мера линейной зависимости между двумя случайными величинами из некоторой совокупности случайных величин Х1, Х2, …, Хk, когда исключено влияние остальных случайных величин.
Частный коэффициент выражается через элементы корреляционной матрицы, составленной из коэффициентов парной корреляции.
Множественный коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между случайной величиной Х1 и некоторым другим набором случайных величин Х2, …, Хk. Множественный коэффициент корреляции определяется как обычный коэффициент парной корреляции между Х1 и Х*, где Х*– наилучшее линейное приближение Х1 случайными величинами Х2, …, Хk , коэффициенты которого определяются из соотношения
При k=2 множественный коэффициент корреляции совпадает с обычным коэффициентом корреляции.
Для вычисления множественного коэффициента корреляции можно использовать следующую формулу:
Именно это выражение оправдывает назначение коэффициента множественной корреляции как показателя тесноты линейной связи. В самом деле, чем лучше приближается случайная величина Х1 линейными комбинациями случайных величин Х2, …, Хk, тем ближе модуль этого коэффициента к единице; чем хуже линейное приближение, тем этот коэффициент ближе к нулю.
Регрессионная модель, как и всякая другая математическая модель, выражая основные свойства изучаемого экономического или другого явления или объекта, не в состоянии полностью воспроизвести его поведение. Но даже то, что исследователь наметил отразить, трудно сделать в условиях реальной ситуации.
Например, при изучении влияния минеральных удобрений на урожайность по фактическим значениям урожайности конкретной сельскохозяйственной культуры и фактическим дозам внесения минеральных удобрений под эту культуру на единицу площади в рамках определенной совокупности сходных хозяйств может оказаться, что коэффициент регрессии по этому фактору незначим. А это при прямолинейной трактовке служит основанием для вывода: минеральные удобрения не влияют на урожайность. На самом деле это, конечно, совсем не так. Более тщательное изучение всех условий, формирующих результирующий показатель и значения факторов, поможет выяснить обстоятельства неправильного вывода. Так, может оказаться, что во всех этих хозяйствах внесение минеральных удобрений находится примерно на одинаковом уровне и практически не сказывается на вариабельности результирующего признака. Могут быть и другие особенности, например, с увеличением внесения удобрений на единицу площади в меньшей степени соблюдаются агротехнические условия внесения и т.п.
Контрольные вопросы
1. Предметы и методы математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
2. Выборочные аналоги интегральной функции распределения.
3. Выборочные аналоги дифференциальной функции распределения.
4. Статистические характеристики вариационных рядов.
5. Понятие о точечной оценке числовой характеристики случайной величины. Свойства точечных оценок.
6. Точечные оценки математического ожидания и их свойства.
7. Точечные оценки дисперсии и их свойства.
8. Частость как точечная оценка вероятности.
9. Понятие об интервальной оценке параметров распределения.
10. Доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении.
11. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
12. Интервальная оценка вероятности.
13. Определение объема выборки.
14. Генеральное и выборочное корреляционные отношения.
15. Линейное уравнение регрессии.
16. Генеральный и выборочный коэффициенты корреляции.
17. Нелинейные функции регрессии.
18. Понятие о множественной регрессии.
Лекция 27: Множественная корреляция
