Определение 1: Комплексными числами называются числа вида
, где
и
— действительные числа, а число
, определяемое равенством
, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:
1). Два комплексных числа
и
называются равными, если
,
;
2). Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число
;
3). Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число
;
Запись комплексного числа в виде
называется алгебраической формой записи комплексного числа, где называется действительной частью комплексного числа, а -мнимой частью.
Пример1: 7+3i
Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел. Поэтому его можно записать так:
.
Пример: 4=4+0i
Определение 2: Комплексное число
называетсякомплексно сопряженным
с числом
и обозначается
, то есть
.
Пример2: 2+5iи 2-5i
Определение 3: Модулем комплексного числа
называется число
:
. Причем
.
Комплексное число можно изобразить двумя способами:
1. Точкой плоскости с координатами (а;в).
При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа- точками оси ординат, которую называютмнимой осью.
2. В виде вектора с началом в начале координат (
) и концом в точке М(а;в) ( ).
Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в),поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора
.
Определение 4: Угол ? между действительной осью ОХ и вектором
, отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называетсяаргументом комплексного числа. Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, иначе- отрицательной.
Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное
. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка
называетсяглавным значением аргумента.
Из определения тригонометрических функций следует:
Комплексные числа #1
